U matematici postoji koncept "skupa", kao i primjeri međusobnog uspoređivanja tih istih skupova. Nazivi vrsta usporedbe skupova su sljedeće riječi: bijekcija, injekcija, surjekcija. Svaki od njih je detaljnije opisan u nastavku.
Bijekcija je… što je to?
Jedna grupa elemenata iz prvog skupa uparuje se s drugom grupom elemenata iz drugog skupa u ovom obliku: svaki element prve grupe izravno se poklapa s drugim elementom druge grupe, i postoji nema situacije s nedostatkom ili nabrajanjem elemenata bilo kojeg ili iz dvije grupe skupova.
Formulacija glavnih svojstava:
- Jedan element prema jednom.
- Nema dodatnih elemenata prilikom podudaranja i prvo svojstvo je sačuvano.
- Moguće je obrnuti mapiranje uz zadržavanje općeg prikaza.
- Bijekcija je funkcija koja je i injektivna i surjektivna.
Bijekcija sa znanstvenog stajališta
Bijektivne funkcije su upravo izomorfizmi u kategoriji "skup i skup funkcija". Međutim, bijekcije nisu uvijek izomorfizmi za složenije kategorije. Na primjer, u određenoj kategoriji grupa morfizmi moraju biti homomorfizmi, budući da moraju sačuvati strukturu grupe. Prema tome, izomorfizmi su grupni izomorfizmi, koji su bijektivni homomorfizmi.
Koncept "jedan-na-jedan korespondencije" generaliziran je na parcijalne funkcije, gdje se nazivaju djelomične bijekcije, iako je djelomična bijekcija ono što bi trebalo biti injekcija. Razlog za ovo opuštanje je taj što djelomična (pravilna) funkcija više nije definirana za dio svoje domene. Dakle, nema dobrog razloga da se njezina inverzna funkcija ograniči na potpunu, tj. definiranu posvuda u svojoj domeni. Skup svih djelomičnih bijekcija na dani osnovni skup naziva se simetrična inverzna polugrupa.
Drugi način definiranja istog koncepta: vrijedi reći da je djelomična bijekcija skupova od A do B bilo koja relacija R (djelomična funkcija) sa svojstvom da je R bijekcioni graf f:A'→B ' gdje je A' podskup od A, a B' je podskup od B.
Kada je djelomična bijekcija na istom skupu, ponekad se naziva djelomična transformacija jedan-na-jedan. Primjer je Möbiusova transformacija upravo definirana na kompleksnoj ravnini, a ne njezin završetak u proširenoj kompleksnoj ravnini.
Injekcija
Jedna grupa elemenata prvog skupa je uparena s drugom grupom elemenata iz drugog skupa u ovom obliku: svaki element prve grupe je uparen s drugim elementom drugog, ali ne sa svim pretvaraju se u parove. Broj nesparenih elemenata ovisi o razlici u broju tih elemenata u svakom od skupova: ako se jedan skup sastoji od trideset i jednog elementa, a drugi ima još sedam, tada je broj nesparenih elemenata sedam. Usmjereno ubrizgavanje u set. Bijekcija i injekcija su slične, ali ništa više nego slično.
Surjekcija
Jedna grupa elemenata iz prvog skupa uparuje se s drugom grupom elemenata iz drugog skupa na ovaj način: svaki element bilo koje grupe čini par, čak i ako postoji razlika između broja elemenata. Iz toga slijedi da se jedan element iz jedne grupe može upariti s nekoliko elemenata iz druge grupe.
Ni bijektivna, ni injektivna, ni surjektivna funkcija
Ovo je funkcija bijektivnog i surjektivnog oblika, ali s ostatkom (nesparenim)=> injekcijom. U takvoj funkciji očito postoji veza između bijekcije i surjekcije, budući da izravno uključuje ove dvije vrste usporedbi skupova. Dakle, ukupnost svih vrsta ovih funkcija nije jedna od njih u izolaciji.
Objašnjenje svih vrsta funkcija
Na primjer, promatrač je fasciniran sljedećim. Održavaju se natjecanja u streljaštvu. Svaki odsudionik želi pogoditi metu (kako bi se olakšao zadatak: ne uzima se u obzir točno mjesto na kojem je strijela pogodila). Samo tri sudionika i tri mete - ovo je prvo mjesto (mjesto) za turnir. U sljedećim odjeljcima broj strijelaca je sačuvan, ali se broj meta mijenja: na drugom - četiri mete, na sljedećem - također četiri, a na četvrtom - pet. Svaki sudionik puca u svaku metu.
- Prvo mjesto održavanja turnira. Prvi strijelac pogađa samo jednu metu. Drugi pogađa samo jednu metu. Treći se ponavlja za ostalima, a svi strijelci pogađaju različite mete: one koje su im nasuprot. Kao rezultat toga, 1 (prvi strijelac) je pogodio metu (a), 2 - u (b), 3 - u (c). Uočava se sljedeća ovisnost: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Zaključak će biti prosudba da je takva usporedba skupova bijekcija.
- Druga platforma za turnir. Prvi strijelac pogađa samo jednu metu. Drugi također pogađa samo jednu metu. Treći se baš i ne trudi i ponavlja sve za ostalima, ali uvjet je isti – svi strijelci pogađaju različite mete. Ali, kao što je ranije spomenuto, na drugoj platformi već postoje četiri mete. Ovisnost: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - nespareni element skupa. U ovom slučaju, zaključak će biti prosudba da je takva usporedba skupa injekcija.
- Treće mjesto održavanja turnira. Prvi strijelac pogađa samo jednu metu. Drugi opet pogađa samo jednu metu. Treći se odlučuje sabrati i pogađa treću i četvrtu metu. Kao rezultat, ovisnost: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Ovdje će zaključak biti prosudba da je takva usporedba skupova surjekcija.
- Četvrta platforma za turnir. S prvim je već sve jasno, pogađa samo jednu metu, u kojoj uskoro više neće biti mjesta za već dosadne pogotke. Sada drugi preuzima ulogu još nedavnog trećeg i opet pogađa samo jednu metu, ponavljajući se za prvim. Treći se nastavlja kontrolirati i ne prestaje uvoditi svoju strijelu u treću i četvrtu metu. Peti je, međutim, još uvijek bio izvan njegove kontrole. Dakle, ovisnost: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - nespareni element skupa ciljeva. Zaključak: takva usporedba skupova nije surjekcija, nije injekcija i nije bijekcija.
Sada konstruiranje bijekcije, injekcije ili surjekcije neće biti problem, kao ni pronalaženje razlika između njih.
