Slušajući učitelja matematike, većina učenika gradivo shvaća kao aksiom. U isto vrijeme, malo ljudi pokušava doći do dna i shvatiti zašto "minus" na "plus" daje znak "minus", a kada se množe dva negativna broja, ispada pozitivno.
Zakoni matematike
Većina odraslih nije u stanju objasniti sebi ili svojoj djeci zašto se to događa. To su gradivo temeljito upijali u školi, ali nisu ni pokušali otkriti odakle takva pravila. Ali uzalud. Često moderna djeca nisu tako lakovjerna, moraju doći do dna stvari i razumjeti, na primjer, zašto "plus" na "minus" daje "minus". A ponekad dječaci namjerno postavljaju škakljiva pitanja kako bi uživali u trenutku kada odrasli ne mogu dati razumljiv odgovor. I stvarno je katastrofa ako mladi učitelj upadne u nered…
Usput, treba napomenuti da gore spomenuto pravilo vrijedi i za množenje i za dijeljenje. Umnožak negativnog i pozitivnog broja dat će samo minus. Ako govorimo o dvije znamenke sa znakom "-", tada će rezultat biti pozitivan broj. Isto vrijedi i za podjelu. Ako je ajedan od brojeva je negativan, tada će kvocijent također biti sa znakom "-".
Da bismo objasnili ispravnost ovog zakona matematike, potrebno je formulirati aksiome prstena. Ali prvo morate razumjeti što je to. U matematici je uobičajeno da se prstenom naziva skup u kojem su uključene dvije operacije s dva elementa. Ali bolje je pozabaviti se ovim primjerom.
Aksiom prstena
Postoji nekoliko matematičkih zakona.
- Prvi je komutativan, prema njemu, C + V=V + C.
- Drugi se zove asocijativni (V + C) + D=V + (C + D).
Oni također poštuju množenje (V x C) x D=V x (C x D).
Nitko nije poništio pravila po kojima se otvaraju zagrade (V + C) x D=V x D + C x D, također je istina da je C x (V + D)=C x V + C x D.
Osim toga, utvrđeno je da se u prsten može uvesti poseban element, neutralan u smislu zbrajanja, pomoću kojeg će vrijediti: C + 0=C. Osim toga, za svaki C postoji suprotni element, koji se može označiti kao (-C). U ovom slučaju, C + (-C)=0.
Izvođenje aksioma za negativne brojeve
Prihvaćajući gornje izjave, možemo odgovoriti na pitanje: ""Plus" do "minus" daje koji znak? Poznavajući aksiom o množenju negativnih brojeva, potrebno je potvrditi da je doista (-C) x V=-(C x V). I također da je tačna sljedeća jednakost: (-(-C))=C.
Da bismo to učinili, prvo ćemo morati dokazati da svaki od elemenata ima samo jedannasuprot bratu. Razmotrite sljedeći primjer dokaza. Pokušajmo zamisliti da su dva broja suprotna za C - V i D. Iz ovoga slijedi da je C + V=0 i C + D=0, odnosno C + V=0=C + D. Sjećanje na zakone pomaka a o svojstvima broja 0 možemo razmotriti zbroj sva tri broja: C, V i D. Pokušajmo odgonetnuti vrijednost V. Logično je da je V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, jer je vrijednost C + D, kako je gore prihvaćeno, jednaka 0. Dakle, V=V + C + D.
Vrijednost za D je izvedena na potpuno isti način: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Na temelju toga postaje jasno da je V=D.
Da biste razumjeli zašto "plus" na "minus" daje "minus", morate razumjeti sljedeće. Dakle, za element (-C), suprotnosti su C i (-(-C)), odnosno jednaki su jedan drugom.
Onda je očito da je 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Slijedi da je C x V suprotno od (-)C x V, dakle (-C) x V=-(C x V).
Za potpunu matematičku strogost, također je potrebno potvrditi da je 0 x V=0 za bilo koji element. Ako slijedite logiku, tada je 0 x V=(0 + 0) x V=0 x V + 0 x V. To znači da dodavanje proizvoda 0 x V ni na koji način ne mijenja zadani iznos. Uostalom, ovaj proizvod je jednak nuli.
Poznavajući sve ove aksiome, možete zaključiti ne samo koliko daje "plus" po "minus", već i što se događa kada množite negativne brojeve.
Množenje i dijeljenje dva broja sa znakom "-"
Ako ne idete duboko u matematikunijanse, možete pokušati objasniti pravila operacija s negativnim brojevima na jednostavniji način.
Pretpostavimo da je C - (-V)=D, dakle C=D + (-V), tj. C=D - V. Prenesite V i dobijete C + V=D. To jest, C + V=C - (-V). Ovaj primjer objašnjava zašto u izrazu u kojem se nalaze dva "minusa" u nizu, spomenute znakove treba promijeniti u "plus". Sada se pozabavimo množenjem.
(-C) x (-V)=D, izrazu možete dodati i oduzeti dva identična proizvoda, koji neće promijeniti njegovu vrijednost: (-C) x (-V) + (C x V)) - (C x V)=D.
Prisjećajući se pravila za rad sa zagradama, dobivamo:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Slijedi da je C x V=(-C) x (-V).
Slično, možemo dokazati da će dijeljenje dva negativna broja rezultirati pozitivnim.
Opća matematička pravila
Naravno, ovo objašnjenje nije prikladno za učenike osnovne škole koji tek počinju učiti apstraktne negativne brojeve. Bolje im je objašnjavati na vidljivim objektima, manipulirajući poznatim pojmom kroz ogledalo. Na primjer, tamo se nalaze izmišljene, ali ne postojeće igračke. Mogu se prikazati sa znakom "-". Umnožavanje dvaju zrcalnih predmeta prenosi ih u drugi svijet, koji je izjednačen sa sadašnjošću, odnosno kao rezultat imamo pozitivne brojeve. Ali množenje apstraktnog negativnog broja pozitivnim daje samo svima poznat rezultat. jer "plus"množenjem s "minusom" dobiva se "minus". Istina, u osnovnoškolskoj dobi djeca se baš i ne trude udubljivati u sve matematičke nijanse.
Iako, ako se suočite s istinom, za mnoge ljude, čak i s visokim obrazovanjem, mnoga pravila ostaju misterij. Svatko uzima zdravo za gotovo ono što ga učitelji podučavaju, ne libeći se udubljivanja u svu složenost kojom je matematika bremenita. "Minus" na "minus" daje "plus" - svi znaju za ovo bez iznimke. To vrijedi i za cijele i za razlomke.
