U matematici, inverzne funkcije su međusobno odgovarajući izrazi koji se pretvaraju jedan u drugi. Da bismo razumjeli što to znači, vrijedi razmotriti konkretan primjer. Recimo da imamo y=cos(x). Ako iz argumenta uzmemo kosinus, tada možemo pronaći vrijednost y. Očito, za to trebate imati x. Ali što ako je igrač u početku dat? Ovdje se ulazi u srž stvari. Za rješavanje problema potrebna je uporaba inverzne funkcije. U našem slučaju, ovo je arc kosinus.
Nakon svih transformacija, dobivamo: x=arccos(y).
To jest, da biste pronašli funkciju inverznu datoj, dovoljno je samo izraziti argument iz nje. Ali ovo funkcionira samo ako će rezultat imati jednu vrijednost (više o tome kasnije).
Općenito, ova se činjenica može napisati na sljedeći način: f(x)=y, g(y)=x.
Definicija
Neka je f funkcija čija je domena skup X, iraspon vrijednosti je skup Y. Zatim, ako postoji g čije domene obavljaju suprotne zadatke, tada je f reverzibilno.
Osim toga, u ovom slučaju g je jedinstven, što znači da postoji točno jedna funkcija koja zadovoljava ovo svojstvo (ni više, ni manje). Tada se naziva inverzna funkcija, a pismeno se označava na sljedeći način: g(x)=f -1(x).
Drugim riječima, oni se mogu promatrati kao binarna relacija. Reverzibilnost se događa samo kada jedan element skupa odgovara jednoj vrijednosti drugoj.
Ne postoji uvijek inverzna funkcija. Da biste to učinili, svaki element y ê Y mora odgovarati najviše jednom x ê X. Tada se f naziva jedan-na-jedan ili injekcija. Ako f -1 pripada Y, tada svaki element ovog skupa mora odgovarati nekom x ∈ X. Funkcije s ovim svojstvom nazivaju se surjekcije. Po definiciji vrijedi ako je Y slika f, ali to nije uvijek slučaj. Da bi bila inverzna, funkcija mora biti i injekcija i surjekcija. Takvi se izrazi nazivaju bijekcije.
Primjer: kvadratne i korijenske funkcije
Funkcija je definirana na [0, ∞) i dana formulom f (x)=x2.
Onda nije injektivan, jer svaki mogući ishod Y (osim 0) odgovara dvama različitim X-ima - jednom pozitivnom i jednom negativnom, tako da nije reverzibilan. U tom slučaju bit će nemoguće dobiti početne podatke od primljenih, što je u suprotnostiteorije. Neće biti injektivan.
Ako je domena definicije uvjetno ograničena na nenegativne vrijednosti, tada će sve raditi kao prije. Tada je bijektivan i stoga inverzibilan. Inverzna funkcija ovdje se naziva pozitivnom.
Napomena o unosu
Neka oznaka f -1 (x) može zbuniti osobu, ali ni u kojem slučaju se ne smije koristiti ovako: (f (x)) - 1 . Odnosi se na potpuno drugačiji matematički koncept i nema nikakve veze s inverznom funkcijom.
Kao opće pravilo, neki autori koriste izraze poput sin-1 (x).
Međutim, drugi matematičari vjeruju da to može izazvati zabunu. Kako bi se izbjegle takve poteškoće, inverzne trigonometrijske funkcije često se označavaju prefiksom "luk" (od latinskog luka). U našem slučaju govorimo o arcsinsu. Također povremeno možete vidjeti prefiks "ar" ili "inv" za neke druge funkcije.
