Geometrija je grana matematike koja proučava strukture u prostoru i odnos između njih. Zauzvrat, on se također sastoji od odjeljaka, a jedan od njih je stereometrija. Omogućuje proučavanje svojstava volumetrijskih figura smještenih u prostoru: kocke, piramide, lopte, stošca, cilindra, itd.
Konus je tijelo u euklidskom prostoru koje omeđuje stožastu površinu i ravninu na kojoj leže krajevi njegovih generatora. Njegovo formiranje događa se u procesu rotacije pravokutnog trokuta oko bilo kojeg kraka, stoga pripada tijelima revolucije.
komponente konusa
Razlikuju se sljedeće vrste čunjeva: kosi (ili kosi) i ravni. Kosa je ona čija se os siječe sa središtem njene baze ne pod pravim kutom. Zbog toga se visina u takvom stošcu ne poklapa s osi, jer je to segment koji se spušta s vrha tijela u njegovu ravninubaza na 90°.
Taj stožac, čija je os okomita na njegovu bazu, naziva se ravan stožac. Os i visina u takvom geometrijskom tijelu poklapaju se zbog činjenice da se vrh u njemu nalazi iznad središta promjera baze.
Konus se sastoji od sljedećih elemenata:
- Krug koji je njegova baza.
- bočno.
- Točka koja ne leži u ravnini baze, naziva se vrh stošca.
- Segmenti koji povezuju točke kružnice baze geometrijskog tijela i njegovog vrha.
Svi ovi segmenti su generatrice stošca. Oni su nagnuti prema bazi geometrijskog tijela, a u slučaju pravog stošca njihove su projekcije jednake, budući da je vrh jednako udaljen od točaka osnovne kružnice. Dakle, možemo zaključiti da su u pravilnom (ravnom) stošcu generatori jednaki, odnosno da imaju istu duljinu i tvore iste kutove s osi (ili visinom) i bazom.
Budući da je u kosom (ili nagnutom) tijelu okretanja vrh pomaknut u odnosu na središte osnovne ravnine, generatori u takvom tijelu imaju različite duljine i projekcije, budući da je svaki od njih na različitoj udaljenosti iz bilo koje dvije točke osnovne kružnice. Osim toga, kutovi između njih i visina stošca također će biti različiti.
Duljina generatora u desnom konusu
Kao što je ranije napisano, visina u ravnom geometrijskom tijelu okretanja okomita je na ravninu baze. Dakle, generatriksa, visina i polumjer baze stvaraju pravokutni trokut u stošcu.
To jest, znajući polumjer baze i visinu, koristeći formulu iz Pitagorinog teorema, možete izračunati duljinu generatrike, koja će biti jednaka zbroju kvadrata polumjera baze i visina:
l2 =r2+ h2 ili l=√r 2 + h2
gdje je l generatriksa;
r – polumjer;
h – visina.
Generativ u kosom konusu
Na temelju činjenice da u kosom ili kosom stošcu generatori nisu iste duljine, neće ih biti moguće izračunati bez dodatnih konstrukcija i proračuna.
Prije svega, morate znati visinu, duljinu osi i polumjer baze.
Imajući ove podatke, možete izračunati dio polumjera koji leži između osi i visine, koristeći formulu iz Pitagorinog teorema:
r1=√k2 - h2
gdje je r1 dio polumjera između osi i visine;
k – duljina osovine;
h – visina.
Kao rezultat zbrajanja polumjera (r) i njegovog dijela koji leži između osi i visine (r1), možete saznati punu stranu desne trokut kojeg čini generatriksa stošca, njegova visina i dio promjera:
R=r + r1
gdje je R krak trokuta kojeg čine visina, generatriksa i dio promjera baze;
r – polumjer baze;
r1 – dio polumjera između osi i visine.
Koristeći istu formulu iz Pitagorinog teorema, možete pronaći duljinu generatrike stošca:
l=√h2+ R2
ili, bez posebnog izračunavanja R, kombinirajte dvije formule u jednu:
l=√h2 + (r + r1)2.
Unatoč tome radi li se o ravnom ili kosom stošcu i o kakvoj vrsti ulaznih podataka, sve metode za pronalaženje duljine generatrike uvijek se svode na jedan rezultat - korištenje Pitagorinog teorema.
konusni dio
Aksijalni presjek stošca je ravnina koja prolazi duž njegove osi ili visine. U desnom stošcu takav je presjek jednakokračni trokut, u kojem je visina trokuta visina tijela, njegove stranice su generatori, a baza je promjer baze. U jednakostraničnom geometrijskom tijelu, aksijalni presjek je jednakostraničan trokut, budući da su u ovom stošcu promjer baze i generatori jednaki.
Ravan aksijalnog presjeka u ravnom stošcu je ravnina njegove simetrije. Razlog tome je što je njegov vrh iznad središta njegove baze, odnosno ravnina aksijalnog presjeka dijeli stožac na dva identična dijela.
Budući da se visina i os ne podudaraju u nagnutom tijelu, ravnina aksijalnog presjeka možda ne uključuje visinu. Ako je moguće konstruirati skup aksijalnih presjeka u takvom stošcu, budući da se za to mora poštivati samo jedan uvjet - mora proći samo kroz os, onda samo jedan aksijalni presjek ravnine, koji će pripadati visini ovaj stožac, može se nacrtati, jer se broj uvjeta povećava, a, kao što je poznato, dva pravca (zajedno) mogu pripadatisamo jedan avion.
područje odjeljka
Aksijalni presjek stošca spomenutog ranije je trokut. Na temelju toga, njegova se površina može izračunati pomoću formule za površinu trokuta:
S=1/2dh ili S=1/22rh
gdje je S površina poprečnog presjeka;
d – promjer baze;
r – polumjer;
h – visina.
U kosom ili kosom stošcu, presjek duž osi je također trokut, pa se površina poprečnog presjeka u njemu izračunava na sličan način.
Volume
Budući da je konus trodimenzionalni lik u trodimenzionalnom prostoru, možemo izračunati njegov volumen. Volumen stošca je broj koji karakterizira ovo tijelo u jedinici volumena, odnosno u m3. Izračun ne ovisi o tome je li ravno ili koso (koso), budući da se formule za ove dvije vrste tijela ne razlikuju.
Kao što je ranije rečeno, do formiranja pravog stošca dolazi zbog rotacije pravokutnog trokuta duž jedne od njegovih krakova. Nagnuti ili kosi stožac nastaje drugačije, jer je njegova visina pomaknuta od središta osnovne ravnine tijela. Međutim, takve razlike u strukturi ne utječu na metodu izračuna njegovog volumena.
Izračun volumena
Formula za volumen bilo kojeg stošca izgleda ovako:
V=1/3πhr2
gdje je V volumen stošca;
h – visina;
r – polumjer;
π - konstanta jednaka 3, 14.
Da biste izračunali volumen stošca, morate imati podatke o visini i polumjeru baze tijela.
Da biste izračunali visinu tijela, trebate znati polumjer baze i duljinu njezine generatrike. Budući da su polumjer, visina i generatriksa kombinirani u pravokutni trokut, visina se može izračunati pomoću formule iz Pitagorinog teorema (a2+ b2=c 2 ili u našem slučaju h2+ r2=l2 , gdje je l - generatriksa). U ovom slučaju, visina će se izračunati izvlačenjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata hipotenuze i drugog kraka:
a=√c2- b2
To jest, visina stošca bit će jednaka vrijednosti dobivenoj nakon vađenja kvadratnog korijena iz razlike kvadrata duljine generatrike i kvadrata polumjera baze:
h=√l2 - r2
Izračunavajući visinu ovom metodom i znajući polumjer njegove baze, možete izračunati volumen stošca. U ovom slučaju, generatriksa igra važnu ulogu, jer služi kao pomoćni element u izračunima.
Slično, ako znate visinu tijela i duljinu njegove generatrike, možete pronaći polumjer njegove baze izvlačenjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata generatrike i kvadrata visine:
r=√l2 - h2
Zatim, koristeći istu formulu kao gore, izračunajte volumen stošca.
Zapremina nagnutog konusa
Budući da je formula za volumen stošca jednaka za sve vrste tijela okretanja, razlika u njegovom izračunavanju je traženje visine.
Da bi se saznala visina nagnutog stošca, ulazni podaci moraju uključivati duljinu generatrike, polumjer baze i udaljenost između središtabaza i presjek visine tijela s ravninom njegove baze. Znajući to, lako možete izračunati onaj dio promjera baze, koji će biti baza pravokutnog trokuta (formiranog od visine, generatriksa i ravnine baze). Zatim, opet koristeći Pitagorin teorem, izračunajte visinu stošca, a zatim i njegov volumen.
