Jedna od najvažnijih znanosti, čija se primjena može vidjeti u disciplinama poput kemije, fizike, pa čak i biologije, je matematika. Proučavanje ove znanosti omogućuje vam da razvijete neke mentalne kvalitete, poboljšate apstraktno razmišljanje i sposobnost koncentracije. Jedna od tema koje zaslužuju posebnu pozornost u kolegiju "Matematika" je zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Mnogim studentima je teško učiti. Možda će naš članak pomoći da bolje razumijemo ovu temu.
Kako oduzeti razlomke s istim nazivnicima
Razlomci su isti brojevi s kojima možete izvoditi razne radnje. Njihova razlika od cijelih brojeva leži u prisutnosti nazivnika. Zato pri izvođenju radnji s razlomcima morate proučiti neke od njihovih značajki i pravila. Najjednostavniji slučaj je oduzimanje običnih razlomaka čiji su nazivnici predstavljeni kao isti broj. Neće biti teško izvesti ovu radnju ako znate jednostavno pravilo:
Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je od brojnika smanjenog razlomka oduzeti brojnik oduzetog razlomka. Ovo jeupisujemo broj u brojnik razlike, a nazivnik ostavljamo isti: k/m – b/m=(k-b)/m
Primjeri oduzimanja razlomaka čiji su nazivnici isti
Da vidimo kako to izgleda na primjeru:
7/19 - 3/19=(7 - 3)/19=4/19.
Od brojnika smanjenog razlomka "7" oduzmite brojnik oduzetog razlomka "3", dobivamo "4". Ovaj broj upisujemo u brojnik odgovora, a u nazivnik stavljamo isti broj koji je bio u nazivnicima prvog i drugog razlomka - "19".
Slika ispod prikazuje još nekoliko sličnih primjera.
Razmotrimo kompliciraniji primjer gdje se oduzimaju razlomci s istim nazivnicima:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47=(29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47=9/47.
Od brojnika reduciranog razlomka "29" oduzimanjem redom brojnika svih sljedećih razlomaka - "3", "8", "2", "7". Kao rezultat, dobivamo rezultat "9", koji upisujemo u brojnik odgovora, a u nazivnik upisujemo broj koji je u nazivnicima svih ovih razlomaka - "47".
Zbrajanje razlomaka s istim nazivnikom
Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka provode se po istom principu.
Da biste zbrali razlomke s istim nazivnicima, trebate zbrojiti brojnike. Dobiveni broj je brojnik zbroja, a nazivnik ostaje isti: k/m + b/m=(k + b)/m
Da vidimo kako to izgleda na primjeru:
1/4 + 2/4=3/4.
Kbrojnik prvog člana razlomka - "1" - dodajte brojnik drugog člana razlomka - "2". Rezultat - "3" - upisuje se u brojnik iznosa, a nazivnik je isti kao i u razlomcima - "4".
Razlomci s različitim nazivnicima i njihovo oduzimanje
Radnju s razlomcima koji imaju isti nazivnik, već smo razmotrili. Kao što vidite, poznavajući jednostavna pravila, rješavanje takvih primjera je prilično jednostavno. Ali što ako trebate izvesti radnju s razlomcima koji imaju različite nazivnike? Mnogi srednjoškolci su zbunjeni takvim primjerima. Ali i ovdje, ako znate princip rješenja, primjeri vam više neće biti teški. Ovdje također postoji pravilo bez kojeg je rješenje takvih razlomaka jednostavno nemoguće.
-
Da biste oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, morate ih dovesti na isti najmanji nazivnik.
oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Razgovarat ćemo više o tome kako to učiniti.
Svojstvo razlomka
Kako biste sveli nekoliko razlomaka na isti nazivnik, trebate koristiti glavno svojstvo razlomka u rješenju: nakon dijeljenja ili množenja brojnika i nazivnika s istim brojem, dobit ćete razlomak jednak dano jedan.
Dakle, na primjer, razlomak 2/3 može imati nazivnike kao što su "6", "9", "12" itd., to jest, može izgledati kao bilo koji broj koji je višekratnik " 3". Nakon što pomnožimo brojnik i nazivnik sa"2", dobivate razlomak 4/6. Nakon što brojnik i nazivnik izvornog razlomka pomnožimo s "3", dobivamo 6/9, a ako sličnu radnju izvedemo s brojem "4", dobivamo 8/12. U jednoj jednadžbi, to se može napisati na sljedeći način:
2/3=4/6=6/9=8/12…
Kako dovesti više razlomaka u isti nazivnik
Razmotrimo kako svesti nekoliko razlomaka na isti nazivnik. Na primjer, uzmite razlomke prikazane na donjoj slici. Prvo morate odrediti koji broj može postati nazivnik za sve njih. Da bismo olakšali, razbijmo dostupne nazivnike na faktore.
Nazivnik razlomka 1/2 i razlomka 2/3 ne može se rastaviti na faktore. Nazivnik 7/9 ima dva faktora 7/9=7/(3 x 3), nazivnik razlomka 5/6=5/(2 x 3). Sada morate odrediti koji će faktori biti najmanji za sva ta četiri razlomka. Budući da prvi razlomak u nazivniku ima broj “2”, to znači da mora biti prisutan u svim nazivnicima, u razlomku 7/9 nalaze se dvije trojke, što znači da i one moraju biti prisutne u nazivniku. S obzirom na gore navedeno, utvrđujemo da se nazivnik sastoji od tri faktora: 3, 2, 3 i jednak je 3 x 2 x 3=18.
Razmotrimo prvi razlomak - 1/2. Njegov nazivnik sadrži "2", ali ne postoji niti jedno "3", ali bi trebala biti dva. Da bismo to učinili, nazivnik množimo s dvije trojke, ali, prema svojstvu razlomka, moramo brojnik pomnožiti s dvije trojke:
1/2=(1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3)=9 /18.
Slično, izvodimo radnje s preostalimrazlomci.
-
2/3 – nazivniku nedostaje jedna tri i jedna dva:
2/3=(2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2)=12/18.
-
7/9 ili 7/(3 x 3) - nazivniku nedostaje nazivnik:
7/9=(7 x 2)/(9 x 2)=14/18.
-
5/6 ili 5/(2 x 3) - nazivniku nedostaje trojka:
5/6=(5 x 3)/(6 x 3)=15/18.
Sve zajedno izgleda ovako:
Kako oduzimati i zbrajati razlomke s različitim nazivnicima
Kao što je gore spomenuto, da bi se zbrajali ili oduzimali razlomci s različitim nazivnicima, moraju se dovesti do istog nazivnika, a zatim koristiti pravila za oduzimanje razlomaka s istim nazivnikom, koja su već opisana.
Uzmimo ovo kao primjer: 4/18 – 3/15.
Pronađi višekratnike 18 i 15:
- Broj 18 je 3 x 2 x 3.
- Broj 15 sastoji se od 5 x 3.
- Zajednički višekratnik sastojat će se od sljedećih faktora 5 x 3 x 3 x 2=90.
Nakon pronalaska nazivnika potrebno je izračunati množitelj koji će biti različit za svaki razlomak, odnosno broj kojim će biti potrebno pomnožiti ne samo nazivnik, već i brojnik. Da bismo to učinili, podijelimo broj koji smo pronašli (zajednički višekratnik) s nazivnikom razlomka za koji je potrebno odrediti dodatne faktore.
- 90 podijeljen s 15. Rezultirajući broj "6" bit će množitelj za 3/15.
- 90 podijeljen s 18. Rezultirajući broj "5" bit će množitelj za 4/18.
Sljedeći korak u našoj odluci jedovodeći svaki razlomak do nazivnika "90".
Kako se to radi, već smo rekli. Razmislite kako je to napisano u primjeru:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6)=20/90 - 18/90=2/90=1/45.
Ako su razlomci s malim brojevima, tada možete odrediti zajednički nazivnik, kao u primjeru prikazanom na slici ispod.
Slično, vrši se zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Oduzimanje i zbrajanje razlomaka s cijelim dijelovima
Oduzimanje razlomaka i njihovo zbrajanje, već smo detaljno analizirali. Ali kako oduzeti ako razlomak ima cijeli broj? Opet, upotrijebimo nekoliko pravila:
- Prevedi sve razlomke s cijelim dijelom u nepravilne. Jednostavnim riječima, uklonite cijeli dio. Da biste to učinili, broj cjelobrojnog dijela množi se nazivnikom razlomka, a dobiveni proizvod se dodaje brojniku. Broj koji će se dobiti nakon ovih radnji je brojnik nepravilnog razlomka. Nazivnik ostaje isti.
- Ako razlomci imaju različite nazivnike, treba ih svesti na iste.
- Dodaj ili oduzmi s istim nazivnicima.
- Kada primite nepravilan razlomak, odaberite cijeli broj.
Postoji još jedan način na koji možete zbrajati i oduzimati razlomke s cjelobrojnim dijelovima. Za to se radnje izvode zasebno s cijelim dijelovima, a zasebno s razlomcima, a rezultati se bilježe zajedno.
Navedeni primjer sastoji se od razlomaka koji imaju isti nazivnik. U slučaju kada su nazivnici različiti, potrebno ih je svesti na iste, a zatim slijediti korake kao što je prikazano u primjeru.
Oduzimanje razlomaka od cijelih brojeva
Druga vrsta operacija s razlomcima je slučaj kada se razlomak mora oduzeti od prirodnog broja. Na prvi pogled takav se primjer čini teško razriješivim. Međutim, ovdje je sve prilično jednostavno. Da bismo ga riješili, potrebno je pretvoriti cijeli broj u razlomak, i to s takvim nazivnikom, koji se nalazi u razlomku koji treba oduzeti. Zatim izvodimo oduzimanje slično oduzimanju s istim nazivnicima. U primjeru, to izgleda ovako:
7 - 4/9=(7 x 9)/9 - 4/9=53/9 - 4/9=49/9.
Oduzimanje razlomaka predstavljeno u ovom članku (6. razred) osnova je za rješavanje složenijih primjera koji se razmatraju u sljedećim razredima. Poznavanje ove teme kasnije se koristi za rješavanje funkcija, derivacija i tako dalje. Stoga je vrlo važno razumjeti i razumjeti operacije s razlomcima o kojima smo gore govorili.
