U članku na koji vam je skrenuta pozornost nudimo primjere matematičkih modela. Osim toga, obratit ćemo pozornost na faze izrade modela i analizirati neke od zadataka povezanih s matematičkim modeliranjem.
Još jedno naše pitanje odnosi se na matematičke modele u gospodarstvu, primjere, čiju ćemo definiciju razmotriti malo kasnije. Predlažemo da započnemo naš razgovor sa samim konceptom "modela", ukratko razmotrimo njihovu klasifikaciju i prijeđemo na naša glavna pitanja.
Koncept "modela"
Često čujemo riječ "model". Što je? Ovaj pojam ima mnogo definicija, evo samo tri od njih:
- specifičan objekt koji je stvoren za primanje i pohranjivanje informacija, odražavajući neka svojstva ili karakteristike, i tako dalje, originala ovog objekta (ovaj specifični objekt može se izraziti u različitim oblicima: mentalni, opis pomoću znakova, i tako dalje);
- model također znači prikaz bilo koje specifične situacije, života ilimenadžerski;
- model može poslužiti kao umanjena kopija bilo kojeg objekta (kreirani su za detaljnije proučavanje i analizu, budući da model odražava strukturu i odnose).
Na temelju svega što je ranije rečeno, možemo izvući mali zaključak: model vam omogućuje detaljno proučavanje složenog sustava ili objekta.
Svi modeli se mogu klasificirati prema brojnim kriterijima:
- po području upotrebe (obrazovno, eksperimentalno, znanstveno i tehničko, igranje, simulacija);
- po dinamici (statična i dinamička);
- po grani znanja (fizička, kemijska, geografska, povijesna, sociološka, ekonomska, matematička);
- načinom prezentacije (materijalno i informativno).
Informacijski modeli se pak dijele na znakovne i verbalne. I ikona - na računalu i neračunala. Sada prijeđimo na detaljno razmatranje primjera matematičkog modela.
Matematički model
Kao što možete pretpostaviti, matematički model odražava neke značajke objekta ili fenomena koristeći posebne matematičke simbole. Matematika je potrebna za modeliranje obrazaca okolnog svijeta na svom specifičnom jeziku.
Metoda matematičkog modeliranja nastala je prilično davno, prije više tisuća godina, zajedno s pojavom ove znanosti. No, poticaj razvoju ove metode modeliranja dala je pojava računala (elektronička računala).
Sad prijeđimo na klasifikaciju. Također se može provesti prema nekim znakovima. Oni suprikazani su u donjoj tablici.
| Klasifikacija po granama znanosti | Primjena matematičkih modela u fizici, sociologiji, kemiji i tako dalje |
| Prema matematičkom aparatu korištenom u procesu modeliranja | Modeli temeljeni na diferencijalnim jednadžbama, diskretnim algebarskim transformacijama i slično |
| Modeliranjem ciljeva | Prema ovom principu postoje deskriptivni, optimizacijski, višekriterijski, igara i simulacijski modeli |
Predlažemo da se zaustavimo i pobliže pogledamo posljednju klasifikaciju, jer ona odražava opće obrasce modeliranja i ciljeve modela koji se stvaraju.
Opisni modeli
U ovom poglavlju predlažemo da se detaljnije zadržimo na deskriptivnim matematičkim modelima. Kako bi sve bilo vrlo jasno, dat će se primjer.
Za početak, ovaj pogled se može nazvati deskriptivnim. To je zbog činjenice da samo radimo kalkulacije i prognoze, ali ne možemo ni na koji način utjecati na ishod događaja.
Upečatljiv primjer deskriptivnog matematičkog modela je izračun putanje leta, brzine, udaljenosti od Zemlje kometa koji je napao prostranstvo našeg Sunčevog sustava. Ovaj model je deskriptivan, budući da nas svi dobiveni rezultati mogu samo upozoriti na neku vrstu opasnosti. Utječemo na ishod događaja, nažalost, ne utječemoLimenka. Međutim, na temelju dobivenih proračuna moguće je poduzeti sve mjere za spašavanje života na Zemlji.
Optimizacijski modeli
Sada ćemo malo govoriti o ekonomskim i matematičkim modelima, čiji primjeri mogu biti različite situacije. U ovom slučaju govorimo o modelima koji pomažu pronaći pravi odgovor u određenim uvjetima. Moraju imati neke parametre. Da bi bilo vrlo jasno, razmotrite primjer iz poljoprivrednog dijela.
Imamo žitnicu, ali žito se vrlo brzo pokvari. U ovom slučaju, moramo odabrati pravi temperaturni režim i optimizirati proces skladištenja.
Dakle, možemo definirati koncept "modela optimizacije". U matematičkom smislu, ovo je sustav jednadžbi (linearnih i ne), čije rješenje pomaže u pronalaženju optimalnog rješenja u određenoj ekonomskoj situaciji. Razmotrili smo primjer matematičkog modela (optimizacija), ali želim dodati: ovaj tip spada u klasu ekstremnih problema, oni pomažu u opisivanju funkcioniranja ekonomskog sustava.
Imajte na umu još jednu nijansu: modeli mogu biti različite prirode (vidi tablicu ispod).
| deterministički | U ovom slučaju, rezultat ovisi o ulaznim podacima |
| stohastički | Opis nasumičnih procesa. U ovom slučaju, rezultat ostaje nedefiniran |
Modeli s više kriterija
Sada vas pozivamo da malo porazgovaramo o tomematematički model višeciljne optimizacije. Prije toga dali smo primjer matematičkog modela za optimizaciju procesa prema bilo kojem kriteriju, ali što ako ih ima puno?
Upečatljiv primjer višekriterijalnog zadatka je organizacija pravilne, zdrave i ujedno ekonomične prehrane za velike skupine ljudi. Takvi zadaci se često nalaze u vojsci, školskim menzama, ljetnim kampovima, bolnicama i tako dalje.
Koje kriterije imamo u ovom problemu?
- Hrana treba biti zdrava.
- Potrošnja na hranu treba biti svedena na minimum.
Kao što vidite, ovi se ciljevi uopće ne podudaraju. To znači da je prilikom rješavanja problema potrebno tražiti optimalno rješenje, balans između dva kriterija.
Modeli igara
Kad smo već kod modela igara, potrebno je razumjeti koncept "teorije igara". Jednostavno rečeno, ovi modeli odražavaju matematičke modele stvarnih sukoba. Samo imajte na umu da, za razliku od pravog sukoba, matematički model igre ima svoja posebna pravila.
Sada će postojati minimum informacija iz teorije igara koje će vam pomoći da shvatite što je model igre. I tako, u modelu nužno postoje stranke (dvije ili više), koje se obično nazivaju igrači.
Svi modeli imaju neke karakteristike.
| Predmeti | Broj igrača |
| Strategija | Opcije za moguće radnje |
| Plaćanje | Ishod sukoba (pobjeda ili poraz). |
Model igre može biti uparen ili višestruk. Ako imamo dva subjekta, tada je sukob uparen, ako više - višestruki. Također se može razlikovati antagonistička igra, naziva se i igra s nultom sumom. Ovo je model u kojem je dobitak jednog od sudionika jednak gubitku drugog.
Simulacijski modeli
U ovom dijelu obratit ćemo pažnju na simulacijske matematičke modele. Primjeri zadataka su:
- model dinamike broja mikroorganizama;
- model kretanja molekula, i tako dalje.
U ovom slučaju govorimo o modelima koji su što je moguće bliži stvarnim procesima. Uglavnom, oponašaju bilo koju manifestaciju u prirodi. U prvom slučaju, na primjer, možemo modelirati dinamiku broja mrava u jednoj koloniji. U ovom slučaju možete promatrati sudbinu svakog pojedinca. U ovom slučaju, matematički opis se rijetko koristi, češće su napisani uvjeti:
- nakon pet dana ženka polaže jaja;
- 20 dana kasnije mrav umire, i tako dalje.
Dakle, simulacijski modeli se koriste za opisivanje velikog sustava. Matematički zaključak je obrada primljenih statističkih podataka.
Zahtjevi
Vrlo važnoimajte na umu da postoje neki zahtjevi za ovu vrstu modela, među kojima su oni navedeni u donjoj tablici.
| Svestranost | Ovo svojstvo omogućuje korištenje istog modela kada opisujete grupe objekata istog tipa. Važno je napomenuti da su univerzalni matematički modeli potpuno neovisni o fizičkoj prirodi predmeta koji se proučava |
| Adekvatnost | Ovdje je važno razumjeti da vam ovo svojstvo omogućuje reprodukciju stvarnih procesa što je točnije moguće. U operativnim problemima ovo svojstvo matematičkog modeliranja je vrlo važno. Primjer modela je proces optimizacije korištenja plinskog sustava. U ovom slučaju se uspoređuju izračunati i stvarni pokazatelji, kao rezultat toga, provjerava se ispravnost sastavljenog modela |
| Točnost | Ovaj zahtjev podrazumijeva podudarnost vrijednosti koje dobivamo prilikom izračunavanja matematičkog modela i ulaznih parametara našeg stvarnog objekta |
| Ekonomija | Zahtjev isplativosti za bilo koji matematički model karakteriziraju troškovi implementacije. Ako se rad s modelom izvodi ručno, tada je potrebno izračunati koliko će vremena biti potrebno za rješavanje jednog problema pomoću ovog matematičkog modela. Ako govorimo o računalno potpomognutom dizajnu, tada se izračunavaju pokazatelji cijene vremena i računalne memorije |
Fapemodeliranje
Ukupno, uobičajeno je razlikovati četiri stupnja u matematičkom modeliranju.
- Formulirajte zakone koji povezuju dijelove modela.
- Istraživanje matematičkih problema.
- Rasjašnjavanje podudarnosti praktičnih i teorijskih rezultata.
- Analiza i modernizacija modela.
Ekonomski i matematički model
U ovom odjeljku ukratko ćemo istaknuti pitanje ekonomskih i matematičkih modela. Primjeri zadataka su:
- formiranje proizvodnog programa za proizvodnju mesnih proizvoda, osiguravajući maksimalnu dobit proizvodnje;
- maksimizirajte profit organizacije izračunavanjem optimalnog broja stolova i stolica za proizvodnju u tvornici namještaja, i tako dalje.
Ekonomsko-matematički model prikazuje ekonomsku apstrakciju, koja se izražava pomoću matematičkih pojmova i znakova.
Računalni matematički model
Primjeri računalnog matematičkog modela su:
- problemi hidraulike pomoću dijagrama toka, dijagrama, tablica i tako dalje;
- problemi na mehanici čvrstog materijala i tako dalje.
Računalni model je slika objekta ili sustava predstavljena kao:
- stolovi;
- grafovi toka;
- dijagrami;
- grafika i tako dalje.
U isto vrijeme, ovaj model odražava strukturu i međusobne veze sustava.
Izgradnja ekonomsko-matematičkog modela
Već smo razgovarali o tome što je ekonomičnomatematički model. Primjer rješavanja problema bit će razmatran upravo sada. Moramo analizirati proizvodni program kako bismo identificirali rezervu za povećanje dobiti s pomakom u asortimanu.
Nećemo u potpunosti razmotriti problem, već ćemo samo izgraditi ekonomski i matematički model. Kriterij našeg zadatka je maksimizacija dobiti. Tada funkcija ima oblik: L=r1h1+r2h2… teži maksimumu. U ovom modelu, p je dobit po jedinici, x je broj proizvedenih jedinica. Nadalje, na temelju konstruiranog modela potrebno je napraviti izračune i sumirati.
Primjer izgradnje jednostavnog matematičkog modela
Zadatak. Ribar se vratio sa sljedećim ulovom:
- 8 riba - stanovnici sjevernih mora;
- 20% ulova - stanovnici južnih mora;
- ni jedna riba nije pronađena iz lokalne rijeke.
Koliko je ribe kupio u trgovini?
Dakle, primjer konstruiranja matematičkog modela ovog problema je sljedeći. Ukupan broj riba označavamo sa x. Slijedeći uvjet, 0,2x je broj riba koje žive u južnim geografskim širinama. Sada kombiniramo sve dostupne informacije i dobivamo matematički model problema: x=0, 2x+8. Rješavamo jednadžbu i dobivamo odgovor na glavno pitanje: kupio je 10 riba u trgovini.
