Ovi geometrijski oblici okružuju nas posvuda. Konveksni poligoni mogu biti prirodni, kao što je saće, ili umjetni (uvijeni). Ove figure se koriste u proizvodnji raznih vrsta premaza, u slikarstvu, arhitekturi, ukrasima itd. Konveksni poligoni imaju svojstvo da su sve njihove točke na istoj strani ravne linije koja prolazi kroz par susjednih vrhova ovog geometrijskog lika. Postoje i druge definicije. Poligon se naziva konveksan ako se nalazi u jednoj poluravni u odnosu na bilo koju ravnu liniju koja sadrži jednu od njegovih stranica.
konveksni poligoni
Tijekom elementarne geometrije uvijek se razmatraju samo jednostavni poligoni. Za razumijevanje svih svojstava takvihgeometrijskih oblika, potrebno je razumjeti njihovu prirodu. Za početak, treba shvatiti da se svaka linija naziva zatvorena, čiji se krajevi podudaraju. Štoviše, lik formiran njime može imati različite konfiguracije. Poligon je jednostavna zatvorena izlomljena linija u kojoj se susjedne veze ne nalaze na istoj pravoj liniji. Njegove veze i vrhovi su, odnosno, stranice i vrhovi ovog geometrijskog lika. Jednostavna polilinija ne smije imati samosjecišta.
Vrhovi poligona nazivaju se susjednim ako predstavljaju krajeve jedne od njegovih stranica. Geometrijski lik koji ima n-ti broj vrhova, a time i n-ti broj stranica, naziva se n-kut. Sama izlomljena linija naziva se granica ili kontura ove geometrijske figure. Poligonalnom ravninom ili ravnim poligonom nazivamo krajnji dio svake ravnine koja je njome omeđena. Susjedne strane ovog geometrijskog lika nazivaju se segmenti izlomljene linije koja izvire iz jednog vrha. Neće biti susjedni ako dolaze iz različitih vrhova poligona.
Druge definicije konveksnih poligona
U elementarnoj geometriji postoji još nekoliko ekvivalentnih definicija koje pokazuju koji se poligon naziva konveksan. Sve ove tvrdnje jednako su istinite. Poligon se smatra konveksnim ako:
• svaki segment koji spaja bilo koje dvije točke unutar njega leži u potpunosti unutar njega;
• unutar njegasve njegove dijagonale leže;
• bilo koji unutarnji kut ne prelazi 180°.
Poligon uvijek dijeli ravninu na 2 dijela. Jedan od njih je ograničen (može se zatvoriti u krug), a drugi je neograničen. Prvi se zove unutarnja regija, a drugi je vanjski dio ove geometrijske figure. Ovaj poligon je sjecište (drugim riječima, zajednička komponenta) nekoliko poluravnina. Štoviše, svaki segment koji ima krajeve u točkama koje pripadaju poligonu u potpunosti mu pripada.
Variete konveksnih poligona
Definicija konveksnog poligona ne ukazuje na to da ih ima mnogo vrsta. I svaki od njih ima određene kriterije. Dakle, konveksni poligoni koji imaju unutarnji kut od 180° nazivaju se slabo konveksnim. Konveksni geometrijski lik koji ima tri vrha naziva se trokut, četiri - četverokut, pet - peterokut, itd. Svaki od konveksnih n-kutova ispunjava sljedeći osnovni uvjet: n mora biti jednak ili veći od 3. Svaki od konveksnih n-kuta trokuti su konveksni. Geometrijski lik ove vrste, u kojem se svi vrhovi nalaze na istoj kružnici, naziva se upisanim u krug. Konveksni poligon naziva se opisanim ako ga dodiruju sve njegove strane u blizini kružnice. Za dva poligona se kaže da su jednaka samo ako se mogu superponirati superpozicijom. Ravan poligon naziva se poligonalna ravnina.(dio ravnine), koji je ograničen ovim geometrijskim likom.
Pravilni konveksni poligoni
Pravilni poligoni su geometrijski oblici s jednakim kutovima i stranicama. Unutar njih nalazi se točka 0, koja je na istoj udaljenosti od svakog svog vrha. Zove se središte ove geometrijske figure. Segmenti koji spajaju središte s vrhovima ove geometrijske figure nazivaju se apotemi, a oni koji spajaju točku 0 sa stranicama nazivaju se polumjeri.
Pravilan četverokut je kvadrat. Jednakostranični trokut naziva se jednakostranični trokut. Za takve figure postoji sljedeće pravilo: svaki kut konveksnog poligona je 180°(n-2)/ n, gdje je n broj vrhova ove konveksne geometrijske figure.
Površina bilo kojeg pravilnog poligona određena je formulom:
S=ph, gdje je p polovica zbroja svih strana zadanog poligona, a h duljina apoteme.
Svojstva konveksnih poligona
Konveksni poligoni imaju određena svojstva. Dakle, u njemu se nužno nalazi segment koji povezuje bilo koje 2 točke takvog geometrijskog lika. Dokaz:
Pretpostavimo da je P zadani konveksni poligon. Uzimamo 2 proizvoljne točke, na primjer, A, B, koje pripadaju P. Prema postojećoj definiciji konveksnog poligona, te se točke nalaze na istoj strani pravca, koji sadrži bilo koju stranu od P. Dakle, AB također ima ovo svojstvo i sadržano je u P. Konveksni poligon uvijek se može podijeliti na nekoliko trokuta apsolutno svim dijagonalama povučenim iz jednog od njegovih vrhova.
Uglovi konveksnih geometrijskih oblika
Uglovi konveksnog poligona su uglovi formirani njegovim stranicama. Unutarnji kutovi nalaze se u unutarnjem dijelu dane geometrijske figure. Kut koji tvore njegove strane koje se skupljaju u jednom vrhu naziva se kut konveksnog mnogokuta. Kutovi susjedni unutarnjim kutovima danog geometrijskog lika nazivaju se vanjskim. Svaki kut konveksnog poligona koji se nalazi unutar njega je:
180° - x, gdje je x vrijednost vanjskog kuta. Ova jednostavna formula radi za sve geometrijske oblike ove vrste.
Općenito, za vanjske kutove postoji sljedeće pravilo: svaki kut konveksnog poligona jednak je razlici između 180° i vrijednosti unutarnjeg kuta. Može imati vrijednosti u rasponu od -180° do 180°. Stoga, kada je unutarnji kut 120°, vanjski će kut biti 60°.
Zbroj kutova konveksnih poligona
Zbroj unutarnjih kutova konveksnog poligona postavlja se formulom:
180°(n-2), gdje je n broj vrhova n-kuta.
Zbroj kutova konveksnog poligona prilično je lako izračunati. Razmotrimo svaki takav geometrijski lik. Za određivanje zbroja kutova unutar konveksnog poligona potrebno jepovezati jedan od njegovih vrhova s drugim vrhovima. Kao rezultat ove akcije dobivaju se (n-2) trokuta. Znamo da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta uvijek 180°. Budući da je njihov broj u bilo kojem poligonu (n-2), zbroj unutarnjih kutova takve figure je 180° x (n-2).
Zbroj kutova konveksnog poligona, odnosno bilo koja dva unutarnja i susjedna vanjska kuta, za dati konveksni geometrijski lik uvijek će biti jednak 180°. Na temelju toga možete odrediti zbroj svih njegovih kutova:
180 x n.
Zbroj unutarnjih kutova je 180°(n-2). Na temelju toga, zbroj svih vanjskih kutova ove figure postavlja se formulom:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Zbroj vanjskih kutova bilo kojeg konveksnog poligona uvijek će biti 360° (bez obzira na broj strana).
Vanjski kut konveksnog poligona općenito je predstavljen razlikom između 180° i vrijednosti unutarnjeg kuta.
Ostala svojstva konveksnog poligona
Osim osnovnih svojstava ovih geometrijskih oblika, oni imaju i druga koja nastaju prilikom manipulacije njima. Dakle, bilo koji od poligona može se podijeliti na nekoliko konveksnih n-kutova. Da biste to učinili, potrebno je nastaviti svaku njegovu stranu i izrezati ovu geometrijsku figuru duž ovih ravnih linija. Također je moguće podijeliti bilo koji poligon na nekoliko konveksnih dijelova na način da se vrhovi svakog od dijelova poklapaju sa svim njegovim vrhovima. Od takvog geometrijskog lika mogu se vrlo jednostavno napraviti trokuti crtanjem svihdijagonale iz jednog vrha. Dakle, svaki se poligon na kraju može podijeliti na određeni broj trokuta, što se pokazalo vrlo korisnim u rješavanju raznih problema povezanih s takvim geometrijskim oblicima.
Perimetar konveksnog poligona
Segmenti izlomljene linije, koji se nazivaju stranice poligona, najčešće se označavaju sljedećim slovima: ab, bc, cd, de, ea. To su stranice geometrijskog lika s vrhovima a, b, c, d, e. Zbroj duljina svih strana ovog konveksnog poligona naziva se njegovim perimetrom.
Obim poligona
Konveksni poligoni mogu biti upisani i opisani. Krug koji dodiruje sve strane ovog geometrijskog lika naziva se upisanim u njega. Takav se mnogokut naziva opisanim. Središte kružnice koja je upisana u poligon je sjecište simetrala svih kutova unutar zadanog geometrijskog lika. Površina takvog poligona je:
S=pr, gdje je r polumjer upisane kružnice, a p je poluperimetar zadanog poligona.
Krug koji sadrži vrhove poligona naziva se opisanim oko njega. Štoviše, ovaj konveksni geometrijski lik naziva se upisanim. Središte kružnice, koja je opisana oko takvog poligona, je presjek takozvanih okomitih simetrala svih strana.
Diagonale konveksnih geometrijskih oblika
Diagonale konveksnog poligona su segmenti kojispojiti nesusjedne vrhove. Svaki od njih leži unutar ove geometrijske figure. Broj dijagonala takvog n-kuta određuje se formulom:
N=n (n – 3)/ 2.
Broj dijagonala konveksnog poligona igra važnu ulogu u elementarnoj geometriji. Broj trokuta (K) na koje je moguće podijeliti svaki konveksni poligon izračunava se sljedećom formulom:
K=n – 2.
Broj dijagonala konveksnog poligona uvijek ovisi o broju njegovih vrhova.
Razlaganje konveksnog poligona
U nekim slučajevima, za rješavanje geometrijskih problema, potrebno je konveksni poligon podijeliti na nekoliko trokuta s dijagonalama koje se ne sijeku. Ovaj se problem može riješiti izvođenjem specifične formule.
Definicija problema: nazovimo pravilnu particiju konveksnog n-kuta na nekoliko trokuta dijagonalama koje se sijeku samo na vrhovima ovog geometrijskog lika.
Rješenje: Pretpostavimo da su R1, R2, R3 …, Pn vrhovi ovog n-kuta. Broj Xn je broj njegovih particija. Pažljivo razmotrimo dobivenu dijagonalu geometrijskog lika Pi Pn. U bilo kojoj od regularnih particija P1 Pn pripada određenom trokutu P1 Pi Pn, koji ima 1<i<n. Polazeći od ovoga i uz pretpostavku da je i=2, 3, 4 …, n-1, dobivamo (n-2) grupe ovih particija, koje uključuju sve moguće pojedinačne slučajeve.
Neka je i=2 jedna grupa regularnih particija, koja uvijek sadrži dijagonalu R2 Pn. Broj particija koje ulaze u njega jednak je broju particija(n-1)-kut P2 P3 P4… Pn. Drugim riječima, jednako je Xn-1.
Ako je i=3, tada će ova druga grupa particija uvijek sadržavati dijagonale R3 R1 i R3 Pn. U ovom slučaju, broj regularnih particija koje se nalaze u ovoj skupini poklopit će se s brojem particija (n-2)-kuta P3 P4 … Pn. Drugim riječima, to će biti jednako Xn-2.
Neka je i=4, tada će pravilna particija među trokutima sigurno sadržavati trokut P1 P4 Pn, na koji će se pridružiti četverokut P1 P2 P3 P4, (n-3)-kut P4 P5 … Pn. Broj pravilnih pregrada takvog četverokuta je X4, a broj pregrada (n-3)-kuta je Xn-3. Na temelju prethodno navedenog, možemo reći da je ukupan broj ispravnih particija sadržanih u ovoj skupini Xn-3 X4. Ostale grupe s i=4, 5, 6, 7… sadržavat će Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … regularne particije.
Neka je i=n-2, tada će broj ispravnih podjela u ovoj grupi biti isti kao i broj podjela u grupi gdje je i=2 (drugim riječima, jednako je Xn-1).
Budući da je X1=X2=0, X3=1, X4=2…, tada je broj svih particija konveksnog poligona:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Primjer:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Broj ispravnih particija koje sijeku jednu dijagonalu unutar
Kada se provjeravaju posebni slučajevi, može se doći dopretpostavka da je broj dijagonala konveksnih n-kuta jednak umnošku svih particija ove figure s (n-3).
Dokaz ove pretpostavke: zamislite da je P1n=Xn(n-3), tada se svaki n-kut može podijeliti na (n-2)-trokute. Štoviše, od njih se može sastaviti (n-3)-četverokut. Uz to, svaki četverokut će imati dijagonalu. Budući da se u ovoj konveksnoj geometrijskoj slici mogu nacrtati dvije dijagonale, to znači da se dodatne (n-3) dijagonale mogu nacrtati u bilo kojem (n-3)-četvorkutu. Na temelju toga možemo zaključiti da je u bilo kojoj regularnoj particiji moguće nacrtati (n-3)-dijagonale koje ispunjavaju uvjete ovog problema.
Površina konveksnih poligona
Često, prilikom rješavanja različitih problema elementarne geometrije, postaje potrebno odrediti površinu konveksnog poligona. Pretpostavimo da je (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n slijed koordinata svih susjednih vrhova poligona koji nema samosjecišta. U ovom slučaju, njegova se površina izračunava pomoću sljedeće formule:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), gdje (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
