Kako bi čitatelju bilo lakše zamisliti što je hiperboloid - trodimenzionalni objekt - prvo morate razmotriti zakrivljenu hiperbolu istog imena, koja se uklapa u dvodimenzionalni prostor.
Hiperbola ima dvije osi: pravu, koja se na ovoj slici poklapa s osi apscise, i imaginarnu, s y-osom. Ako mentalno počnete okretati jednadžbu hiperbole oko njezine imaginarne osi, tada će površina "viđena" krivuljom biti hiperboloid s jednim listom.
Ako, međutim, počnemo rotirati hiperbolu oko njezine stvarne osi na ovaj način, tada će svaka od dvije "polovice" krivulje formirati svoju zasebnu površinu, a zajedno će se zvati dvo- hiperboloid s pločama.
Dobiveni rotacijom odgovarajuće ravninske krivulje, nazivaju se hiperboloidi rotacije. Imaju parametre u svim smjerovima okomito na os rotacije,koji pripada rotiranoj krivulji. Općenito, to nije slučaj.
Hiperboloidna jednadžba
Općenito, površina se može definirati sljedećim jednadžbama u kartezijanskim koordinatama (x, y, z):
U slučaju hiperboloida okretanja, njegova simetrija oko osi oko koje se rotira izražava se jednakošću koeficijenata a=b.
Hiperboloidne karakteristike
On ima trik. Znamo da krivulje na ravnini imaju žarišta - u slučaju hiperbole, na primjer, modul razlike udaljenosti od proizvoljne točke na hiperboli do jednog fokusa, a drugi je konstantan po definiciji, zapravo, fokusa bodova.
Prilikom prelaska u trodimenzionalni prostor, definicija se praktički ne mijenja: žarišta su opet dvije točke, a razlika u udaljenostima od njih do proizvoljne točke koja pripada hiperboloidnoj površini je konstantna. Kao što vidite, od promjena za sve moguće točke pojavila se samo treća koordinata, jer su sada postavljene u prostoru. Općenito govoreći, definiranje fokusa jednako je identificiranju vrste krivulje ili površine: govoreći o tome kako se točke površine nalaze u odnosu na žarišta, zapravo odgovaramo na pitanje što je hiperboloid i kako izgleda.
Vrijedi zapamtiti da hiperbola ima asimptote - ravne linije, prema kojima njezine grane teže u beskonačnost. Ako se pri konstruiranju hiperboloida okretanja mentalno zarotiraju asimptote zajedno s hiperbolom, tada će se osim hiperboloida dobiti i stožac koji se naziva asimptotički. Asimptotski stožac jeza hiperboloide s jednim i dva lista.
Još jedna važna karakteristika koju ima samo hiperboloid s jednim listom jesu pravolinijski generatori. Kao što naziv implicira, to su linije i potpuno leže na zadanoj površini. Kroz svaku točku hiperboloida s jednim listom prolaze dva pravocrtna generatora. Oni pripadaju dvije obitelji pravaca, koje su opisane sljedećim sustavima jednadžbi:
Dakle, hiperboloid s jednim listom može biti u potpunosti sastavljen od beskonačnog broja ravnih linija dviju familija, a svaka linija jedne od njih će se presijecati sa svim linijama druge. Površine koje odgovaraju takvim svojstvima nazivaju se ravnali; mogu se konstruirati korištenjem rotacije jedne ravne linije. Definicija kroz međusobni raspored linija (pravolinijskih generatora) u prostoru također može poslužiti kao nedvosmislena oznaka što je hiperboloid.
Zanimljiva svojstva hiperboloida
Krivulje drugog reda i njihove odgovarajuće površine okretanja imaju zanimljiva optička svojstva povezana s žarištima. U slučaju hiperboloida, to je formulirano na sljedeći način: ako je zraka ispaljena iz jednog fokusa, tada će, nakon odbijanja od najbližeg "zida", poprimiti takav smjer kao da dolazi iz drugog fokusa.
Hiperboloidi u životu
Najvjerojatnije je većina čitatelja svoje upoznavanje s analitičkom geometrijom i površinama drugog reda započela iz znanstvenofantastičnog romana Alekseja Tolstoja"Hiperboloidni inženjer Garin". No, sam pisac ili nije dobro znao što je hiperboloid, ili je žrtvovao preciznost radi umjetnosti: opisani izum, po fizičkim karakteristikama, prije je paraboloid koji skuplja sve zrake u jednom fokusu (dok optička svojstva hiperboloida povezana su s raspršivanjem zraka).
Takozvane hiperboloidne strukture su vrlo popularne u arhitekturi: to su strukture koje su u obliku hiperboloida s jednim slojem ili hiperboličkog paraboloida. Činjenica je da samo ove okretne površine drugog reda imaju pravolinijske generatore: tako se zakrivljena struktura može izgraditi samo od ravnih greda. Prednosti takvih konstrukcija su u sposobnosti da izdrže teška opterećenja, na primjer, od vjetra: hiperboloidni oblik koristi se u izgradnji visokih građevina, na primjer, televizijskih tornjeva.
