Jedna od grana matematike s kojom se školarci nose s najvećim poteškoćama je trigonometrija. Nije ni čudo: da biste slobodno svladali ovo područje znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa pomoću formula, pojednostavljenja izraza i mogućnosti korištenja broja pi u izračunima. Osim toga, trebate znati primijeniti trigonometriju prilikom dokazivanja teorema, a to zahtijeva razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost deduciranja složenih logičkih lanaca.
Porijeklo trigonometrije
Uvod u ovu znanost trebao bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangenta kuta, ali prvo morate shvatiti što trigonometrija uopće radi.
Povijesno gledano, pravokutni trokuti su bili glavni predmet istraživanja u ovom dijelu matematičke znanosti. Prisutnost kuta od 90 stupnjeva omogućuje izvođenje različitih operacija koje dopuštaju dvijestrane i jedan kut ili dva kuta i jednu stranu za određivanje vrijednosti svih parametara dotične figure. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj obrazac i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak i umjetnosti.
Početak
U početku se o odnosu kutova i stranica govorilo isključivo na primjeru pravokutnih trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica upotrebe u svakodnevnom životu ovog odjeljka matematike.
Proučavanje trigonometrije u školi danas počinje s pravokutnim trokutima, nakon čega stečeno znanje koriste učenici u fizici i rješavanju apstraktnih trigonometrijskih jednadžbi, rad s kojima počinje u srednjoj školi.
Sferna trigonometrija
Kasnije, kada je znanost dosegla sljedeću razinu razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangentom, kotangensom počele su se koristiti u sfernoj geometriji, gdje vrijede druga pravila, a zbroj kutova u trokutu uvijek je veći od 180 stupnjeva. Ovaj dio se ne izučava u školi, ali je potrebno znati o njegovom postojanju, barem zato što je površina Zemlje, kao i površina bilo kojeg drugog planeta, konveksna, što znači da će svaka oznaka površine biti "u obliku luka". " u trodimenzionalnom prostoru.
Uzmite globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Obratite pažnju - dobio je oblik luka. Bavi se takvim oblicimasferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim poljima.
Pravokutni trokut
Naučivši ponešto o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se osnovnoj trigonometriji kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangenta, koji se izračuni mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.
Prije svega, morate razumjeti koncepte koji se odnose na pravokutni trokut. Prvo, hipotenuza je strana suprotna kutu od 90 stupnjeva. Ona je najduža. Sjećamo se da je prema Pitagorinom teoremu njegova brojčana vrijednost jednaka korijenu zbroja kvadrata druge dvije stranice.
Na primjer, ako su dvije stranice 3 odnosno 4 centimetra, duljina hipotenuze bit će 5 centimetara. Usput, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i pol tisuće godina.
Dvije preostale stranice koje tvore pravi kut zovu se noge. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbroj kutova u trokutu u pravokutnom koordinatnom sustavu 180 stupnjeva.
Definicija
Konačno, imajući solidno razumijevanje geometrijske baze, možemo se obratiti definiciji sinusa, kosinusa i tangenta kuta.
Sinus kuta je omjer suprotnog kraka (tj. strane suprotne željenom kutu) i hipotenuze. Kosinus kuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto?Budući da je hipotenuza prema zadanim postavkama najduža stranica pravokutnog trokuta. Koliko god krak bio dug, bit će kraći od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako u odgovoru na problem dobijete sinus ili kosinus s vrijednošću većom od 1, potražite pogrešku u izračunima ili zaključivanju. Ovaj odgovor je očito pogrešan.
Konačno, tangenta kuta je omjer suprotne i susjedne strane. Isti rezultat će dati podjelu sinusa kosinusom. Gledajte: prema formuli duljinu stranice dijelimo s hipotenuzom, nakon čega dijelimo s duljinom druge stranice i množimo s hipotenuzom. Dakle, dobivamo isti omjer kao u definiciji tangente.
Kotangens, odnosno, omjer je strane susjedne kutu prema suprotnoj strani. Dobivamo isti rezultat dijeljenjem jedinice s tangentom.
Dakle, razmotrili smo definicije što je sinus, kosinus, tangenta i kotangens, i možemo se baviti formulama.
Jednostavne formule
U trigonometriji se ne može bez formula - kako bez njih pronaći sinus, kosinus, tangent, kotangens? Ali to je upravo ono što je potrebno pri rješavanju problema.
Prva formula koju trebate znati kada počnete učiti trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa kuta jednak jedan. Ova formula je izravna posljedica Pitagorinog teorema, ali štedi vrijeme ako trebate saznati vrijednost kuta, a ne stranice.
Mnogi studenti ne mogu se sjetiti druge formule, također vrlopopularan u rješavanju školskih zadataka: zbroj jedinice i kvadrata tangente kuta jednak je jedinici podijeljenom s kvadratom kosinusa kuta. Pogledajte pobliže: uostalom, ovo je ista izjava kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispada da jednostavna matematička operacija čini trigonometrijsku formulu potpuno neprepoznatljivom. Zapamtite: znajući što je sinus, kosinus, tangent i kotangens, pravila pretvorbe i nekoliko osnovnih formula, možete u bilo kojem trenutku samostalno izvesti potrebne složenije formule na komad papira.
Formule dvostrukog kuta i dodavanje argumenata
Još dvije formule koje treba naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbroj i razliku kutova. Oni su prikazani na donjoj slici. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se zbraja umnožak sinusa i kosinusa u paru.
Postoje i formule povezane s argumentima dvostrukog kuta. Oni su u potpunosti izvedeni iz prethodnih - kao praksa, pokušajte ih nabaviti sami, uzimajući kut alfa jednak kutu beta.
Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog kuta mogu pretvoriti kako bi se smanjio stupanj sinusa, kosinusa, tangenta alfa.
Teoreme
Dva glavna teorema u osnovnoj trigonometriji su sinusni teorem i kosinusni teorem. Uz pomoć ovih teorema, možete lako razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangentu, a time i područje figure i veličinusvaka strana, itd.
Teorem sinusa kaže da kao rezultat dijeljenja duljine svake od stranica trokuta s vrijednošću suprotnog kuta, dobivamo isti broj. Štoviše, ovaj će broj biti jednak dvama polumjerima opisane kružnice, tj. kružnice koja sadrži sve točke zadanog trokuta.
Teorem kosinusa generalizira Pitagorin teorem, projicira ga na bilo koji trokut. Ispada da od zbroja kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod, pomnožen s dvostrukim kosinusom kuta koji se nalazi uz njih - rezultirajuća vrijednost bit će jednaka kvadratu treće strane. Stoga se ispostavlja da je Pitagorin teorem poseban slučaj kosinusnog teorema.
Greške zbog nepažnje
Čak i znajući što su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog rasejanosti ili greške u najjednostavnijim proračunima. Kako bismo izbjegli takve pogreške, pogledajmo one najpopularnije.
Prije svega, nemojte pretvarati obične razlomke u decimale prije dobivanja konačnog rezultata - odgovor možete ostaviti kao običan razlomak, osim ako je drugačije navedeno u uvjetu. Takva se transformacija ne može nazvati pogreškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi zadatka mogu pojaviti novi korijeni, koje bi, prema autorovoj zamisli, trebalo smanjiti. U tom slučaju gubit ćete vrijeme na nepotrebne matematičke operacije. To posebno vrijedi za vrijednosti kao što je korijen od tri ili dva, jer se pojavljuju u zadacima na svakom koraku. Isto vrijedi i za zaokruživanje."Ružni" brojevi.
Dalje, imajte na umu da se kosinusni teorem primjenjuje na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorin teorem! Ako greškom zaboravite dvaput oduzeti umnožak stranica pomnožen kosinusom kuta između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete pokazati i potpuno nerazumijevanje teme. Ovo je gore od neoprezne pogreške.
Treće, nemojte brkati vrijednosti za kutove od 30 i 60 stupnjeva za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stupnjeva jednak kosinusu od 60, i obrnuto. Lako ih je pomiješati i neminovno ćete dobiti pogrešan rezultat.
Prijava
Mnogi studenti ne žure s učenjem trigonometrije, jer ne razumiju njezino primijenjeno značenje. Što je sinus, kosinus, tangenta za inženjera ili astronoma? To su koncepti zahvaljujući kojima možete izračunati udaljenost do udaljenih zvijezda, predvidjeti pad meteorita, poslati istraživačku sondu na drugi planet. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, projektirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi posvuda, od glazbe do medicine.
Zaključak
Dakle, znate što su sinus, kosinus, tangent. Možete ih koristiti u izračunima i uspješno rješavati školske probleme.
Cijela stvartrigonometrija se svodi na to da je prema poznatim parametrima trokuta potrebno izračunati nepoznanice. Ukupno je šest parametara: duljine triju stranica i veličine triju kutova. Cijela razlika u zadacima leži u činjenici da su dati različiti ulazni podaci.
Kako pronaći sinus, kosinus, tangent na temelju poznatih duljina kateta ili hipotenuze, sada znate. Budući da ti pojmovi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, glavni cilj trigonometrijskog problema je pronaći korijene obične jednadžbe ili sustava jednadžbi. I ovdje će vam pomoći uobičajena školska matematika.
