Nagnuta prizma i njezin volumen. Primjer rješenja problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Mogućnost određivanja volumena prostornih figura važna je za rješavanje geometrijskih i praktičnih problema. Jedna od ovih figura je prizma. U članku ćemo razmotriti što je to i pokazati kako izračunati volumen nagnute prizme.

Što znači prizma u geometriji?

Ovo je pravilan poliedar (poliedar), koji se sastoji od dvije identične baze smještene u paralelnim ravninama i nekoliko paralelograma koji povezuju označene baze.

Baze prizme mogu biti proizvoljni poligoni, kao što su trokut, četverokut, sedmerokut i tako dalje. Štoviše, broj uglova (strana) poligona određuje naziv figure.

Svaka prizma s bazom od n-kuta (n je broj stranica) sastoji se od n+2 lica, 2 × n vrhova i 3 × n bridova. Iz zadanih brojeva može se vidjeti da broj elemenata prizme odgovara Eulerovom teoremu:

3 × n=2 × n + n + 2 - 2

Slika ispod prikazuje kako izgledaju trokutaste i četverokutne prizme od stakla.

Vrste figure. Nagnuta prizma

Već je gore rečeno da je naziv prizme određen brojem stranica poligona u bazi. Međutim, u njegovoj strukturi postoje i druge značajke koje određuju svojstva figure. Dakle, ako su svi paralelogrami koji tvore bočnu površinu prizme predstavljeni pravokutnicima ili kvadratima, tada se takav lik naziva ravnom linijom. Za ravnu prizmu, udaljenost između baza jednaka je duljini bočnog ruba bilo kojeg pravokutnika.

Ako su neke ili sve stranice paralelogrami, tada govorimo o nagnutoj prizmi. Njegova će visina već biti manja od duljine bočnog rebra.

Još jedan kriterij prema kojemu su figure koje se razmatraju klasificirane su duljine stranica i kutovi poligona u bazi. Ako su međusobno jednaki, poligon će biti ispravan. Ravni lik s pravilnim mnogokutom na bazama naziva se pravilan. Prikladno je raditi s njim pri određivanju površine i volumena. Kosa prizma u tom pogledu predstavlja neke poteškoće.

Slika ispod prikazuje dvije prizme s kvadratnom bazom. Kut od 90° pokazuje temeljnu razliku između ravne i kose prizme.

Formula za određivanje volumena figure

Dio prostora omeđen plohama prizme naziva se njezin volumen. Za razmatrane brojke bilo koje vrste, ova vrijednost se može odrediti sljedećom formulom:

V=h × S_o

Ovdje simbol h označava visinu prizme,što je mjera udaljenosti između dvije baze. Simbol S_o- jedan osnovni kvadrat.

Osnovno područje je lako pronaći. S obzirom na činjenicu da li je poligon pravilan ili ne, i znajući broj njegovih strana, trebali biste primijeniti odgovarajuću formulu i dobiti S_o. Na primjer, za pravilan n-kut sa duljinom stranice a, površina će biti:

S=n / 4 × a^{2 ×} ctg (pi / n)

Sada idemo na visinu h. Za ravnu prizmu određivanje visine nije teško, ali za kosu prizmu to nije lak zadatak. Može se riješiti raznim geometrijskim metodama, počevši od specifičnih početnih uvjeta. Međutim, postoji univerzalni način određivanja visine figure. Opišimo to ukratko.

Ideja je pronaći udaljenost od točke u prostoru do ravnine. Pretpostavimo da je ravnina dana jednadžbom:

A × x+ B × y + C × z + D=0

Tada će avion biti na udaljenosti:

h=|A × x₁ + B × y₁+ C × z₁ +D| / √ (A² + B²+ C²)

Ako su koordinatne osi raspoređene tako da točka (0; 0; 0) leži u ravnini donje baze prizme, tada se jednadžba za osnovnu ravninu može napisati na sljedeći način:

z=0

To znači da će formula za visinu biti napisanadakle:

h=z₁

Za određivanje visine figure dovoljno je pronaći z-koordinatu bilo koje točke gornje baze.

Primjer rješavanja problema

Slika ispod prikazuje četverokutnu prizmu. Osnova nagnute prizme je kvadrat sa stranicom 10 cm. Potrebno je izračunati njegov volumen ako je poznato da je duljina bočnog ruba 15 cm, a oštri kut čeonog paralelograma 70 °.

Budući da je visina h figure ujedno i visina paralelograma, koristimo formule da odredimo njegovu površinu da bismo pronašli h. Označimo stranice paralelograma na sljedeći način:

a=10 cm;

b=15 cm

Tada možete napisati sljedeće formule za određivanje površine S_p:

S_p=a × b × sin (α);

S_p=a × h

Odakle dobivamo:

h=b × sin (α)

Ovdje α je oštar kut paralelograma. Budući da je baza kvadrat, formula za volumen nagnute prizme imat će oblik:

V=a² × b × sin (α)

Podatke iz uvjeta zamjenjujemo u formulu i dobivamo odgovor: V ≈ 1410 cm³.