Sustavi brojeva - što je to? Čak i ne znajući odgovor na ovo pitanje, svatko od nas nehotice koristi brojevne sustave u svom životu i ne sumnja u to. Tako je, množina! Odnosno, ne jedan, već nekoliko. Prije nego što damo primjere nepozicionih brojevnih sustava, razumijemo ovo pitanje, razgovarajmo i o pozicionim sustavima.
Potrebna faktura
Ljudi su od davnina imali potrebu za brojanjem, odnosno intuitivno su shvatili da trebaju nekako izraziti kvantitativnu viziju stvari i događaja. Mozak je sugerirao da je potrebno koristiti predmete za brojanje. Prsti su uvijek bili najprikladniji, i to je razumljivo, jer su uvijek dostupni (s rijetkim iznimkama).
Dakle, drevni predstavnici ljudske rase morali su savijati svoje prste u doslovnom smislu - da naznače broj ubijenih mamuta, na primjer. Takvi elementi računa još nisu imali nazive, već samo vizualnu sliku, usporedbu.
Moderni pozicijski brojevni sustavi
Brojevinski sustav je metoda (način) predstavljanja kvantitativnih vrijednosti i količina pomoću određenih znakova (simbola ili slova).
Neophodno je razumjeti što je poziciono, a što nepozicionalno u brojanju prije nego što damo primjere nepozicionih brojevnih sustava. Postoji mnogo pozicijskih brojevnih sustava. Sada se sljedeće koriste u raznim područjima znanja: binarni (sadrži samo dva značajna elementa: 0 i 1), heksadecimalni (broj znakova - 6), oktalni (znakova - 8), duodecimalni (dvanaest znakova), heksadecimalni (uključuje šesnaest znakova likovi). Štoviše, svaki red znakova u sustavima počinje od nule. Suvremene računalne tehnologije temelje se na korištenju binarnih kodova - binarnog pozicijskog brojevnog sustava.
Decimalni brojevni sustav
Pozicijalnost je prisutnost značajnih pozicija u različitim stupnjevima, na kojima se nalaze znakovi broja. To se najbolje može pokazati na primjeru decimalnog brojevnog sustava. Uostalom, navikli smo ga koristiti od djetinjstva. U ovom sustavu postoji deset znakova: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Uzmite broj 327. Ima tri znaka: 3, 2, 7. Svaki od njih se nalazi u vlastiti položaj (mjesto). Sedam zauzima poziciju rezerviranu za pojedinačne vrijednosti (jedinice), dvije - desetice, a tri - stotine. Budući da je broj troznamenkasti, u njemu se nalaze samo tri mjesta.
Na temelju gore navedenog, ovotroznamenkasti decimalni broj može se opisati na sljedeći način: tri stotine, dvije desetice i sedam jedinica. Štoviše, značaj (važnost) pozicija se broji s lijeva na desno, od slabe pozicije (jedne) do jače (stotine).
Osjećamo se vrlo ugodno u decimalnom pozicijskom brojevnom sustavu. Imamo deset prstiju na rukama, a isto toliko i na nogama. Pet plus pet - tako, zahvaljujući prstima, lako zamišljamo desetak iz djetinjstva. Zato je djeci lako naučiti tablice množenja za pet i deset. A također je tako lako naučiti brojati novčanice, koje su najčešće višestruke (tj. podijeljene bez ostatka) s pet i deset.
Ostali pozicijski brojevni sustavi
Na iznenađenje mnogih, treba reći da je naš mozak ne samo u sustavu decimalnog brojanja naviknut na neke izračune. Do sada, čovječanstvo je koristilo šest i duodecimalni brojevni sustav. Odnosno, u takvom sustavu postoji samo šest znakova (heksadecimalno): 0, 1, 2, 3, 4, 5. U duodecimalnom ih ima dvanaest: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, gdje A - označava broj 10, B - broj 11 (pošto znak mora biti jedan).
Prosudite sami. Vrijeme brojimo u šesticama, zar ne? Jedan sat je šezdeset minuta (šest desetica), jedan dan je dvadeset i četiri sata (dva puta dvanaest), godina je dvanaest mjeseci i tako dalje… Svi vremenski intervali lako se uklapaju u šesto- i duodecimalni niz. Ali toliko smo navikli na to da ni ne razmišljamo o tome kad brojimo vrijeme.
Nepozicijski brojevni sustavi. Unary
Potrebno je definirati što je to - nepozicijski brojevni sustav. Riječ je o takvom znakovnom sustavu u kojem nema položaja za predznake broja ili princip "čitanja" broja ne ovisi o poziciji. Također ima svoja pravila za pisanje ili izračunavanje.
Dajmo primjere nepozicionih brojevnih sustava. Vratimo se u antiku. Ljudima je trebao račun i smislili su najjednostavniji izum – čvorove. Nepozicijski brojevni sustav je nodularan. Jedan predmet (vreća riže, bik, plast sijena, itd.) broji se, na primjer, prilikom kupnje ili prodaje, te se vezuje čvor na žici.
Kao rezultat, onoliko čvorova je napravljeno na užetu koliko je kupljeno vrećica riže (kao primjer). Ali to mogu biti i zarezi na drvenom štapu, na kamenoj ploči itd. Takav brojevni sustav postao je poznat kao nodularni. Ona ima drugo ime - jednostruko, ili single ("uno" na latinskom znači "jedan").
Postaje očito da ovaj brojevni sustav nije pozicionalan. Uostalom, o kakvim pozicijama možemo govoriti kad je (pozicija) samo jedna! Čudno je da se u nekim dijelovima Zemlje još uvijek koristi unarni nepozicijski brojevni sustav.
Također, brojevni sustavi bez položaja uključuju:
- rimski (slova se koriste za pisanje brojeva - latinični znakovi);
- staroegipatski (slično rimskim, korišteni su i simboli);
- abecedno (upotrijebljena su slova abecede);
- babilonski (klinopis - koristi se izravno iobrnuti "klin");
- grčki (također se naziva abecednim).
rimski numerički sustav
Staro Rimsko Carstvo, kao i njegova znanost, bila je vrlo progresivna. Rimljani su svijetu dali mnoge korisne izume znanosti i umjetnosti, uključujući njihov sustav brojanja. Prije dvije stotine godina korišteni su rimski brojevi za označavanje iznosa u poslovnim dokumentima (tako je izbjegnuto krivotvorenje).
Rimska numeracija je primjer nepozicionog brojevnog sustava, sada ga znamo. Također, rimski sustav se aktivno koristi, ali ne za matematičke izračune, već za usko usmjerene radnje. Primjerice, uz pomoć rimskih brojeva uobičajeno je označavati povijesne datume, stoljeća, brojeve svezaka, odjeljaka i poglavlja u izdanjima knjiga. Rimski znakovi često se koriste za ukrašavanje brojčanika satova. I također je rimska numeracija primjer nepozicijskog brojevnog sustava.
Rimljani su brojeve označavali latiničnim slovima. Štoviše, zapisivali su brojeve prema određenim pravilima. Postoji popis ključnih simbola u rimskom brojevnom sustavu, uz pomoć kojih su svi brojevi ispisani bez iznimke.
| Broj (decimalni) | rimski broj (slovo latinske abecede) |
| 1 | ja |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Pravila za sastavljanje brojeva
Traženi broj dobiven je dodavanjem znakova (latinica) i izračunavanjem njihovog zbroja. Razmotrimo kako su znakovi simbolički ispisani u rimskom sustavu i kako ih treba "čitati". Navedimo glavne zakonitosti formiranja brojeva u rimskom nepozicijskom brojevnom sustavu.
- Broj četiri - IV, sastoji se od dva znaka (I, V - jedan i pet). Dobiva se oduzimanjem manjeg predznaka od većeg ako je lijevo. Kada se manji znak nalazi na desnoj strani, trebate dodati, tada ćete dobiti broj šest - VI.
- Potrebno je dodati dva identična znaka jedan do drugog. Na primjer: SS je 200 (C je 100), ili XX je 20.
- Ako je prvi znak broja manji od drugog, tada treći znak u ovom retku može biti znak čija je vrijednost čak i manja od prvog. Da biste izbjegli zabunu, evo primjera: CDX - 410 (u decimalnom obliku).
- Neki veliki brojevi mogu se predstaviti na različite načine, što je jedan od nedostataka rimskog sustava brojanja. Evo nekoliko primjera: MVM (rimski)=1000 + (1000 - 5)=1995 (decimalno) ili MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. I to nije sve.
Aritmetički trikovi
Nepozicijski brojevni sustav ponekad je složen skup pravila za formiranje brojeva, njihovu obradu (radnje na njih). Aritmetičke operacije u nepozicionim brojevnim sustavima nisu lakeza moderne ljude. Ne zavidimo starorimskim matematičarima!
Primjer zbrajanja. Pokušajmo dodati dva broja: XIX + XXVI=XXXV, ovaj zadatak se izvodi u dva koraka:
- Prvo - uzmi i dodaj manje razlomke brojeva: IX + VI=XV (I nakon V i I prije X "uništavaju" jedan drugog).
- Drugi - dodajte velike razlomke dvaju brojeva: X + XX=XXX.
Oduzimanje je nešto kompliciranije. Broj koji se smanjuje mora se podijeliti na sastavne elemente, a zatim se udvostručeni znakovi umanjiti u broju koji se smanjuje i oduzima. Oduzmi 263 od 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Množenje rimskih brojeva. Inače, potrebno je napomenuti da Rimljani nisu imali znakove računskih operacija, već su ih jednostavno označavali riječima.
Višestruki broj se morao pomnožiti sa svakim pojedinačnim simbolom množitelja, što je rezultiralo nekoliko proizvoda koje je trebalo dodati. Ovako se množe polinomi.
Što se tiče dijeljenja, ovaj proces u rimskom brojevnom sustavu bio je i ostao najteži. Ovdje se koristio starorimski abakus. Za rad s njim, ljudi su bili posebno obučeni (i nije svaka osoba uspjela savladati takvu znanost).
O nedostacima nepozicionih sustava
Kao što je gore spomenuto, nepozicijski brojevni sustavi imaju svoje nedostatke, neugodnosti u korištenju. Unary je dovoljno jednostavan za jednostavno brojanje, ali za aritmetičke i složene izračune nijedovoljno dobro.
U rimskom ne postoje jednoobrazna pravila za formiranje velikih brojeva i nastaje zabuna, a u njemu je također vrlo teško napraviti izračune. Također, najveći broj koji su stari Rimljani mogli zapisati svojom metodom bio je 100 000.
