Sudeći po popularnosti zahtjeva "Fermatov teorem - kratak dokaz", ovaj matematički problem doista zanima mnoge. Ovaj teorem prvi je iznio Pierre de Fermat 1637. na rubu kopije Aritmetike, gdje je tvrdio da ima rješenje koje je preveliko da stane na rub.
Prvi uspješan dokaz objavljen je 1995. godine - bio je to potpuni dokaz Fermatovog teorema Andrewa Wilesa. Opisan je kao "zapanjujući napredak" i doveo je do toga da Wiles dobije Abelovu nagradu 2016. Iako je relativno kratko opisan, dokaz Fermatovog teorema također je dokazao veći dio teorema modularnosti i otvorio nove pristupe brojnim drugim problemima i učinkovitim metodama za podizanje modularnosti. Ta su postignuća unaprijedila matematiku 100 godina u budućnost. Dokaz Fermatovog malog teorema danas nijeje nešto neobično.
Neriješeni problem potaknuo je razvoj algebarske teorije brojeva u 19. stoljeću i potragu za dokazom teorema modularnosti u 20. stoljeću. Ovo je jedan od najznačajnijih teorema u povijesti matematike, a do potpunog dokaza podjele Fermatovog posljednjeg teorema bio je u Guinnessovoj knjizi rekorda kao "najteži matematički problem", čija je jedna od značajki da je ima najveći broj neuspješnih dokaza.
Povijesna pozadina
Pitagorina jednadžba x2 + y2=z2 ima beskonačan broj pozitivnih cjelobrojna rješenja za x, y i z. Ova rješenja poznata su kao Pitagorina trojstva. Oko 1637. Fermat je na rubu knjige napisao da općenitija jednadžba a + b =cnema rješenja u prirodnim brojevima ako je n cijeli broj veći od 2. Iako je sam Fermat tvrdio da ima rješenje za svoj problem, nije ostavio nikakve detalje o njegovom dokazu. Elementarni dokaz Fermatovog teorema, za koji je tvrdio njegov tvorac, bio je prije njegov hvalisav izum. Knjiga velikog francuskog matematičara otkrivena je 30 godina nakon njegove smrti. Ova jednadžba, nazvana Fermatov posljednji teorem, ostala je neriješena u matematici tri i pol stoljeća.
Teorem je na kraju postao jedan od najznačajnijih neriješenih problema u matematici. Pokušaji da se to dokaže izazvali su značajan razvoj teorije brojeva, a s odlomkomvremena, Fermatov posljednji teorem postao je poznat kao neriješen problem u matematici.
Kratka povijest dokaza
Ako je n=4, kao što je dokazao sam Fermat, dovoljno je dokazati teorem za indekse n koji su prosti brojevi. Tijekom sljedeća dva stoljeća (1637-1839) pretpostavka je dokazana samo za proste brojeve 3, 5 i 7, iako je Sophie Germain ažurirala i dokazala pristup koji se primjenjuje na cijelu klasu prostih brojeva. Sredinom 19. stoljeća Ernst Kummer je to proširio i dokazao teorem za sve regularne proste brojeve, pri čemu su nepravilni prosti brojevi analizirani pojedinačno. Na temelju Kummerovog rada i korištenjem sofisticiranih računalnih istraživanja, drugi matematičari su uspjeli proširiti rješenje teorema, s ciljem da pokriju sve glavne eksponente do četiri milijuna, ali dokaz za sve eksponente još uvijek nije bio dostupan (što znači da su matematičari obično se smatra rješenjem teorema nemogućim, iznimno teškim ili nedostižnim s trenutnim znanjem).
Djelo Shimure i Taniyame
Godine 1955. japanski matematičari Goro Shimura i Yutaka Taniyama sumnjali su da postoji veza između eliptičkih krivulja i modularnih oblika, dvije vrlo različite grane matematike. U to vrijeme poznata kao Taniyama-Shimura-Weylova pretpostavka i (u konačnici) kao teorem modularnosti, postojala je sama za sebe, bez vidljive veze s Fermatovim zadnjim teoremom. Sama se naširoko smatrala važnim matematičkim teoremom, ali se smatralo (kao i Fermatov teorem) nemoguće dokazati. U tomeU isto vrijeme, dokaz Fermatovog posljednjeg teorema (podjelom i primjenom složenih matematičkih formula) izveden je tek pola stoljeća kasnije.
Godine 1984. Gerhard Frey primijetio je očitu povezanost između ova dva prethodno nepovezana i neriješena problema. Potpunu potvrdu da su dva teorema usko povezana objavila je 1986. Ken Ribet, koji se temeljio na djelomičnom dokazu Jean-Pierrea Serre, koji je dokazao sve osim jednog dijela, poznatog kao "epsilon hipoteza". Jednostavno rečeno, ovi radovi Freya, Serre i Ribea pokazali su da ako se teorem modularnosti može dokazati, barem za polustabilnu klasu eliptičkih krivulja, onda će prije ili kasnije biti otkriven i dokaz Fermatovog posljednjeg teorema. Bilo koje rješenje koje može proturječiti Fermatovom posljednjem teoremu također se može koristiti za proturječnost teoremu modularnosti. Stoga, ako se pokazalo da je teorem o modularnosti točan, onda po definiciji ne može postojati rješenje koje je u suprotnosti s Fermatovim zadnjim teoremom, što znači da je trebalo uskoro biti dokazano.
Iako su oba teorema bila teški problem u matematici, koji se smatrao nerješivim, rad dvojice Japanaca bio je prva sugestija kako bi se zadnji Fermatov teorem mogao proširiti i dokazati za sve brojeve, a ne samo za neke. Za istraživače koji su odabrali temu studija bila je važna činjenica da je, za razliku od Fermatovog posljednjeg teorema, teorem modularnosti bio glavno aktivno područje istraživanja, za kojeRazvijali su se dokazi, a ne samo povijesna neobičnost, pa se vrijeme utrošeno na njezin rad moglo opravdati s stručnog stajališta. Međutim, opći konsenzus bio je da se rješavanje Taniyama-Shimura pretpostavke pokazalo neprikladnim.
Posljednja farma teorema: Wilesov dokaz
Saznavši da je Ribet dokazao da je Freyeva teorija točna, engleski matematičar Andrew Wiles, koji se od djetinjstva zanima za Fermatovu posljednju teoremu i ima iskustvo rada s eliptičkim krivuljama i susjednim domenama, odlučio je pokušati dokazati Taniyama-Shimuru Pretpostavka kao način dokazivanja Fermatovog posljednjeg teorema. Godine 1993., šest godina nakon što je objavio svoj cilj, dok je potajno radio na problemu rješavanja teorema, Wiles je uspio dokazati srodnu pretpostavku, koja će mu zauzvrat pomoći da dokaže Fermatov posljednji teorem. Wilesov dokument bio je golem po veličini i opsegu.
Manjak je otkriven u jednom dijelu njegovog originalnog rada tijekom recenzije i zahtijevao je još godinu dana suradnje s Richardom Taylorom kako bi se zajednički riješio teorem. Kao rezultat toga, Wilesov konačni dokaz Fermatovog posljednjeg teorema nije dugo čekao. Godine 1995. objavljen je u znatno manjem opsegu od Wilesovog prethodnog matematičkog rada, što ilustrira da nije pogriješio u svojim prethodnim zaključcima o mogućnosti dokazivanja teorema. Wilesovo postignuće naširoko je objavljivano u popularnom tisku i popularizirano u knjigama i televizijskim programima. Preostali dijelovi Taniyama-Shimura-Weil pretpostavke, koji su sada dokazani ipoznat kao teorem modularnosti, naknadno su dokazali drugi matematičari koji su izgradili Wilesov rad između 1996. i 2001. Za svoje postignuće, Wiles je nagrađen i dobio brojne nagrade, uključujući Abelovu nagradu 2016.
Wilesov dokaz Fermatovog posljednjeg teorema je poseban slučaj rješavanja teorema modularnosti za eliptičke krivulje. Međutim, ovo je najpoznatiji slučaj tako velike matematičke operacije. Uz rješavanje Ribeova teorema, britanski matematičar je dobio i dokaz posljednjeg Fermatovog teorema. Fermatov posljednji teorem i teorem modularnosti moderni su matematičari gotovo općenito smatrali nedokazivim, ali Andrew Wiles uspio je dokazati znanstvenom svijetu da čak i stručnjaci mogu pogriješiti.
Wyles je prvi put najavio svoje otkriće u srijedu, 23. lipnja 1993. na predavanju u Cambridgeu pod nazivom "Modularni oblici, eliptične krivulje i Galoisovi prikazi". Međutim, u rujnu 1993. ustanovljeno je da su njegovi izračuni sadržavali pogrešku. Godinu dana kasnije, 19. rujna 1994., u onome što bi nazvao "najvažnijim trenutkom svog radnog vijeka", Wiles je naišao na otkriće koje mu je omogućilo da popravi rješenje problema do točke u kojoj bi moglo zadovoljiti matematičke zajednica.
Opis rada
Dokaz Fermatovog teorema Andrewa Wilesa koristi mnoge metode iz algebarske geometrije i teorije brojeva i ima mnogo razgranaka u ovimpodručja matematike. On također koristi standardne konstrukcije moderne algebarske geometrije, kao što su kategorija shema i Iwasawa teorija, kao i druge metode 20. stoljeća koje nisu bile dostupne Pierreu de Fermatu.
Dva članka koja sadrže dokaze duga su 129 stranica i napisana su tijekom sedam godina. John Coates opisao je ovo otkriće kao jedno od najvećih dostignuća teorije brojeva, a John Conway ga je nazvao glavnim matematičkim dostignućem 20. stoljeća. Wiles je, kako bi dokazao zadnji Fermatov teorem dokazujući teorem modularnosti za poseban slučaj polustabilnih eliptičkih krivulja, razvio moćne metode za podizanje modularnosti i otvorio nove pristupe brojnim drugim problemima. Za rješavanje posljednjeg Fermatovog teorema proglašen je vitezom i dobio je druge nagrade. Kada je postalo poznato da je Wiles osvojio Abelovu nagradu, Norveška akademija znanosti opisala je njegovo postignuće kao "divan i elementaran dokaz Fermatovog posljednjeg teorema."
Kako je bilo
Jedan od ljudi koji su pregledali Wilesov originalni rukopis s rješenjem teorema bio je Nick Katz. Tijekom svoje recenzije Britancu je postavio brojna pojašnjavajuća pitanja koja su navela Wilesa da prizna da njegov rad očito sadrži prazninu. U jednom kritičnom dijelu dokaza napravljena je pogreška koja je dala procjenu za red određene skupine: Eulerov sustav korišten za proširenje Kolyvaginove i Flachove metode bio je nepotpun. Pogreška, međutim, nije učinila njegov rad beskorisnim - svaki dio Wilesovog rada bio je vrlo značajan i inovativan sam po sebi, kao i mnogirazvoja i metoda koje je stvorio tijekom svog rada i koji su zahvatili samo jedan dio rukopisa. Međutim, ovo originalno djelo, objavljeno 1993., zapravo nije imalo dokaz Fermatovog posljednjeg teorema.
Wyles je proveo gotovo godinu dana pokušavajući ponovno otkriti rješenje teorema, prvo sam, a zatim u suradnji sa svojim bivšim učenikom Richardom Taylorom, no činilo se da je sve bilo uzaludno. Do kraja 1993. kružile su glasine da je Wilesov dokaz propao u testiranju, ali nije poznato koliko je taj neuspjeh ozbiljan. Matematičari su počeli vršiti pritisak na Wilesa da otkrije detalje svog rada, bez obzira je li to učinjeno ili ne, kako bi šira zajednica matematičara mogla istražiti i koristiti sve što je uspio postići. Umjesto da brzo ispravi svoju pogrešku, Wiles je samo otkrio dodatne teške aspekte u dokazu Fermatovog posljednjeg teorema i konačno shvatio koliko je to teško.
Wyles navodi da je ujutro 19. rujna 1994. bio na rubu odustajanja i odustajanja, te se gotovo pomirio s neuspjehom. Bio je spreman objaviti svoje nedovršeno djelo kako bi ga drugi mogli nadograđivati i otkriti gdje je pogriješio. Engleski matematičar odlučio je sebi dati posljednju priliku i posljednji put analizirao teorem kako bi pokušao razumjeti glavne razloge zašto njegov pristup nije uspio, kada je iznenada shvatio da Kolyvagin-Flac pristup neće funkcionirati dok netakođer će uključiti Iwasawinu teoriju u proces dokazivanja, čime će ona funkcionirati.
Dana 6. listopada, Wiles je zamolio trojicu kolega (uključujući F altinsa) da pregledaju njegov novi rad, a 24. listopada 1994. poslao je dva rukopisa - "Modularne eliptičke krivulje i Fermatova posljednja teorema" i "Teorijska svojstva prsten nekih Heckeovih algebri", od kojih je drugu Wiles napisao zajedno s Taylorom i dokazao da su ispunjeni određeni uvjeti kako bi se opravdao ispravljeni korak u glavnom članku.
Ova dva rada recenzirana su i konačno objavljena kao cjelovito tekstualno izdanje u Annals of Mathematics u svibnju 1995. godine. Andrewovi novi izračuni bili su široko analizirani i na kraju prihvaćeni od strane znanstvene zajednice. U ovim je radovima utvrđen teorem modularnosti za polustabilne eliptičke krivulje - posljednji korak ka dokazivanju Fermatovog posljednjeg teorema, 358 godina nakon što je stvoren.
Povijest velikog problema
Rješavanje ovog teorema se stoljećima smatra najvećim problemom u matematici. Godine 1816. i 1850. Francuska akademija znanosti ponudila je nagradu za opći dokaz Fermatovog posljednjeg teorema. Godine 1857. Akademija je Kummeru dodijelila 3000 franaka i zlatnu medalju za njegovo istraživanje idealnih brojeva, iako se on nije prijavio za nagradu. Bruxelles Akademija ponudila mu je još jednu nagradu 1883.
Wolfskell nagrada
Godine 1908. njemački industrijalac i matematičar amater Paul Wolfskel ostavio je 100.000 zlatnih maraka (veliki iznos za to vrijeme)Akademije znanosti u Göttingenu, tako da ovaj novac postaje nagrada za potpuni dokaz Fermatovog posljednjeg teorema. Akademija je 27. lipnja 1908. objavila devet pravila o dodjeli nagrada. Između ostalog, ova su pravila zahtijevala da se dokaz objavi u recenziranom časopisu. Nagrada je trebala biti dodijeljena tek dvije godine nakon objave. Natječaj je trebao isteći 13. rujna 2007. - otprilike stoljeće nakon početka. Dana 27. lipnja 1997. Wiles je primio Wolfschelovu nagradu, a zatim još 50.000 dolara. U ožujku 2016. dobio je 600.000 eura od norveške vlade u sklopu Abelove nagrade za "nevjerojatan dokaz Fermatovog posljednjeg teorema uz pomoć pretpostavke o modularnosti za polustabilne eliptičke krivulje, otvarajući novu eru u teoriji brojeva." Bio je to svjetski trijumf skromnog Engleza.
Prije Wilesovog dokaza, Fermatov teorem, kao što je ranije spomenuto, stoljećima se smatrao apsolutno nerješivim. Tisuće netočnih dokaza u različitim vremenima predstavljene su Wolfskellovom odboru, što je iznosilo otprilike 3 metra korespondencije. Samo u prvoj godini postojanja nagrade (1907.-1908.) podnesena je 621 prijava koja je tvrdila da rješava teorem, iako se do 1970-ih njihov broj smanjio na oko 3-4 prijave mjesečno. Prema F. Schlichtingu, Wolfschelovom recenzentu, većina dokaza temeljila se na elementarnim metodama koje su se podučavale u školama i često su predstavljane kao "ljudi s tehničkim iskustvom, ali neuspješnim karijerama". Prema povjesničaru matematike Howardu Avesu, posljednjiFermatov teorem postavio je svojevrsni rekord - ovo je teorem s najvećim brojem netočnih dokaza.
Lovori na farmi pripali su Japancima
Kao što je ranije spomenuto, oko 1955. godine japanski matematičari Goro Shimura i Yutaka Taniyama otkrili su moguću vezu između dvije naizgled potpuno različite grane matematike - eliptičkih krivulja i modularnih oblika. Rezultirajući teorem modularnosti (tada poznat kao Taniyama-Shimura pretpostavka) navodi da je svaka eliptična krivulja modularna, što znači da se može povezati s jedinstvenim modularnim oblikom.
Teorija je u početku odbačena kao malo vjerojatna ili vrlo spekulativna, ali je ozbiljnije shvaćena kada je teoretičar brojeva André Weil pronašao dokaze koji podržavaju japanske zaključke. Kao rezultat toga, hipoteza se često naziva hipoteza Taniyama-Shimura-Weil. Postala je dio programa Langlands, što je popis važnih hipoteza koje treba dokazati u budućnosti.
Čak i nakon ozbiljnog ispitivanja, suvremeni matematičari su ovu pretpostavku prepoznali kao izuzetno tešku, ili možda nedostupnu za dokaz. Sada ovaj konkretni teorem čeka svog Andrewa Wilesa, koji bi svojim rješenjem mogao iznenaditi cijeli svijet.
Fermatov teorem: Perelmanov dokaz
Unatoč popularnom mitu, ruski matematičar Grigorij Perelman, uz svu svoju genijalnost, nema nikakve veze s Fermatovim teoremom. Što ga, međutim, ni na koji način ne umanjuje.brojni doprinosi znanstvenoj zajednici.
